東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、東北大学の1989年の問題を取り上げます。最終回です。
第1問
(筆者注：(2)で、誤sa=tb 正sa+tb)
空間内の平面、円についての問題です。
(1)αの式でz=0とすればxy平面との交線が出てくるので、方向ベクトルaが求まります。また、bはαの法線ベクトルとaの両方に垂直になります。
(2)直線PQ上の点をOP, OQで表現して、xy平面との交点がC上にある条件を出しましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
1次変換についての問題です。
(1) C上の点を(2/√3cosΦ+2, 2/√3sinΦ）とおいてfによって移動させてみましょう。
(2)中心間距離が、半径の和になります。
＜筆者の解答＞
第3問
微分方程式の問題です。
(1)水面の上昇速度を時間で積分すると水面高さになります。
(2)水面の面積をS, 水面の体積をVとして、V,Sの微分方程式を立てていきましょう。
＜筆者の解答＞
第4問
正体不明の箱から中身を取り出して、箱の正体を推定する問題です。
(1)Hが正しい時、選んだ箱はAで確定するので、その条件下で誤認する条件付確率を計算します。
(2)Hが間違っているとき、選んだ箱はBかCの2択になります。
＜筆者の解答＞
第5問
関数の増減と面積を求める問題です。
(1) f'(x)が常に0以上となる条件を考えます。
(2)y=f(x)とy=bxの交点は簡単に求まるので、図に描いて面積計算しましょう。
(3)bの値によってaの定義域が変わるので、それを考慮し、Sの取りうる値を調べましょう。
＜筆者の解答＞
第6問
分数型の漸化式を解く問題です。
(1)は、分数型の漸化式を解く標準的な方法です。yn+1を計算して辻褄合わせをしましょう。
(2) ynを解きましょう。
(3) (2)ができていれば瞬殺です。
＜筆者の解答＞
