東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、北海道大学の1989年の問題を取り上げます。最終回です。
第1問
球の断面の正射影を求める問題です。いきなり難しい問題です。
図に描いて考えてみると、AはSを平面で切った断面（円）になります。よって、Aの乗っている平面の式を求めましょう。
これを使うと、A上の点を1文字のパラメータで表現できます。
xy平面への正射影は、x,y座標はそのままにz座標を0にしたもの、xz平面への正射影は、x,z座標はそのままにy座標を0にしたものになります。
＜筆者の解答＞
第2問
三角関数の倍角の公式に関する問題です。
(1)5倍角の公式を頑張って導出する方法もアリですが、ここは5/2θ= 2θ+1/2θと分解して2倍角の公式だけを使って処理できるようにするとよいでしょう。
(2) 2曲線が交わるようなcosθをaを用いて求まるので、-1<cosθ<1となるaの条件を求めましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
複雑な関数の性質を調べる問題です。
(1) f'(x)=1となるxが1つしかないことを示します。f'(x)=○○+1にして、○○の部分が0になる条件を考えます。
(2) f(x)が下に凸な関数なことを証明すればよいので、f''(x)を調べます。
(3) 複雑な積分計算ですが、部分積分を駆使して地道に計算しましょう。
＜筆者の解答＞
第4問
積分で書かれた関数についての問題です。
(1)x-aをかけてxで微分すればよいです。
(2) (1)から、f(x)≧g(x)が言えればよいのですが、発想が要ります。
ここは、g(x)の式にx-aをかけたものが、面積を表現しているを解釈して、面積の大小関係から攻略するとよいでしょう。
(3) g(x)を消去して微分方程式を解きます。
＜筆者の解答＞
第5問
確率の問題です。
(1)表がA回、裏がB回出た結果Xn=kとなるとして、A, Bをn,k,a,bで表現しましょう。
（正直、a,bと一般的な文字で置く意味が分からないですね。。最初から(2)みたく具体的な数にすればいいのに）
(2)a=2, b=1, n=3のとき、kとして取りうる値を調べて、確率分布を出ししょう。階乗の中身が整数になることが条件です。
＜筆者の解答＞
