私立最難関の一角、慶應義塾大学の医学部の問題を取り上げます。今回は2019年の問題です。
第1問
医学部についても、理工学部と同様に第1問は基本的に小問集合で、この年についてもそうなっています。
(1) 三角関数の最大最小について考える問題です。全てがsin,cosの2次式になっているので、倍角の公式を使ってcos2θ, sin2θの式に変えて、合成を使えばよいでしょう。
(2)確率の問題です。
後手になるOの引き方が、先手のKの引き方に依存してくるのでKの引き方で場合分けして調べます。（え）については余事象「KもOも両方違う色2つを取り出す」確率を考えるとよいでしょう。
(3)ベクトルの問題です。
面積については、CAベクトルとCBベクトルを調べれば公式が適用できます。(か)~(く)については、PA=PB=PCを処理すると (xの1次式)=(yの1次式)=(zの1次式)の形で直線の式が求まるので、(xの1次式)=(yの1次式)=(zの1次式)=k (定数)とおいてx,y,zをkを使って書くことで求まります。
＜筆者の解答＞
第2問
確率漸化式の問題です。最初にA~Dの移り方を図にまとめておくとよいでしょう。
(1)~(4)
Bにいる確率をrn, Dにいる確率をsnと置けば4本の漸化式が立ちます。これらを使ってpnだけの漸化式にし解いていきます。
(5) pnが求まると、qnだけの漸化式ができるのでこれを解きます。するとqnは階差数列の形になります。
＜筆者の解答＞
第3問
点の軌跡を考える問題です。
(1) 放物線は「焦点と準線から等距離にある点の集合」ですので、この定義に従って計算します。
(2) (1)の結果からP (p, 1/2(p^2 -1) )と書けるので、これを使ってQの座標を表現し、z座標とy座標をpで微分して増減を調べます。
(3) (2)で求めた各成分のp微分を使えばよいでしょう。積分計算は、p=tanθと置換するとうまくいくタイプです。
(4) 2交点の座標を出して中点の座標を計算すればよいのですが、計算を楽にするために解と係数の関係を使いたいです。それでもなお計算量は多いです。
(5) (4)ができていれば、問題文の通りにONを計算すればよいです。x座標の取りうる範囲には要注意ですが。
＜筆者の解答＞
第4問
平面図形に関する問題です。
(1)CとLa, Lbがそれぞれ接する条件を求めるのですが、点と直線の距離を利用するのが楽だと思います。
(2) (1)の状況を図にすると、LaとLbの交点をPとすればQは△ABPの内心になっています。よって、このPがx>0にある条件を調べれば十分です。計算を進めると、|t|と1の大小関係による場合分けが発生することに注意が必要ですが、|t|>1の時は△ABPがうまく作れないので不適です。
(3) 三角形の1辺と内接円の直径が直交するという性質から、Hのy座標はtで確定します。あとは、AH⊥BQを利用します。dについては公式通りに計算すればよく、色々約分されてかなりスッキリした式になります。
(4)まずは焦点がA,B, 長軸2aの楕円の式を出すのが第一です。この結果を使うと、Pの座標をパラメータ表示できます。
次に、角の二等分線の性質を使うとOQベクトルをOA, OB, OPの3ベクトルで書けて、結局同じパラメータを使ってまとめることができます。
あとは、そのパラメータを消去すれば答えです。
＜筆者の解答＞
