このシリーズでは、平成の東京工業大学の後期日程の数学の問題を解いていきます。
12回目の今回は2000年です。
第1問
３次関数に関する領域図示の問題です。
(1) f(-a)=0が分かるので、f(x)はx+aを因数に持ちます。どこまで因数分解すればいいかが悩みどころですが、残った２次式g(x)が１次式に綺麗に因数分解できないので、x+aを括りだすだけで留めておいてよいでしょう。
(2) (1)の結果を利用して考えないと非常にしんどいことになります。というのもf(x)を微分しても綺麗な形にならず、極値をうまく計算するのが困難だからです。
まずa≧0の場合とa<0の場合に大別されます。
前者の場合、x≧0ならx+a≧0が確定しているので、g(x)がx≧0で0以上なら良いことになります。g(x)の軸の位置で場合分けして検討するとよいでしょう。
後者の場合は、普通に考えればx=-aでf(x)の正負が切り替わってしまいます。それを解消する手段はただ一つ。f(x)が(x+a)^2で括れる、つまりg(x)がx+aで割り切れることです。
＜筆者の解答＞
第2問
球の外側にあるひもの存在領域の体積を計算する問題です。
(1) 部分積分で計算できます。この関係式が(2)で登場する積分計算の助けになります。
(2) いきなり空間で考えるのは難しいので、平面から考えます。
原点中心のxy平面上にある半径1の円の一点(1,0)にひもを結んだときの、ひものもう一端の軌跡が、xy平面上におけるひもの存在範囲Dを決めます。このDをx軸周りに一回転すれば、最終的に体積を考える立体になるわけです。ということで、まずはDを求めるところから始めます。
x≧1のときは、何も障害物がないので、Dは(1,0)中心半径πの半円にすればよいでしょう。問題はx≦1のとき（円とひもが干渉するとき）どうなるかです。
このとき、ひもの長さθの部分が円に巻き付いていると考えて、ひものもう一端Qの座標をθを使って表現するとよいでしょう。これにより、Dが求まります。
あとは、その結果を使って回転体の体積を計算していくのですが、その途中過程で(1)を使いたいので、sin,cosは「累乗」ではなく「倍角」の形にうまく変換して計算を進めていきます。かなり大変な計算ですが、頑張って進めましょう。
＜筆者の解答＞
