私大文系入試で最高難易度と呼び声の高い、早稲田大学商学部の数学の問題を解いていきます。
10回目の今回は2013年です。
第1問(1)
積分の計算問題です。
f(x)の各係数をf(0)~f(2)で表現することに終始します。
＜筆者の解答＞
第1問(2)
放物線と直線で囲まれる面積を考える問題です。
両者の交点をx=α, βとおいて、解と係数の関係から面積をkの式で表す典型問題です。
＜筆者の解答＞
第1問(3)
整数問題です。
p^3をp-4で割ると余りが64となるので、64をp-4を割った余りが4ということになります。ということはp-4は5以上の奇数で、かつ64-4=60の約数、ということになります。
＜筆者の解答＞
第1問(4)
シグマの計算問題です。
シグマの中身は1か-1になるので、sin(2nπ/7)-cos(2nπ/7)の符号を調べることに終始します。sinの式に合成してあげると符号を調べやすいと思います。
＜筆者の解答＞
第2問
三角形の面積比に関する問題です。
(1) ベクトルを使ってもよいですが、メネラウスの定理を使えば楽に比を計算できます。
(2) 底辺の比を使ってあげると、周りの三角形を取り除くことで△MQRの面積をtの式で表現できます。
tの分数式ですが、分子で分母を割ると相加相乗平均の形に持ち込んで最大値を計算できます。
結果はPが△ABCの重心になる時が面積最大、となり、ある意味予想通りですね。
余談ですが、△ABCは正三角形でなくても関係なかったですね。。。
＜筆者の解答＞
第3問
整数問題です。
cが奇数なので、4b-cは正の奇数になります。その一方で2^aの「奇数の約数」は1しかありません。よって、この時点で4b-c=1で確定します。この事実に気が付けたかがポイントになります。
(2)では、さらにaの条件を絞り込んでいきます。4b-c=1を使うと、2^aの１の位が4になることが分かるので、aが「4で割り切れない偶数」で確定します。
逆にそうであればbが必ず見つかるので、結局「2013以下の『４で割り切れない偶数』の個数」を数える問題に帰着します。
＜筆者の解答＞
