私立最難関の一角、慶應義塾大学の理工学部の問題を取り上げます。今回は2003年の問題です。
第1問
極方程式に関する問題です。
(1) x=rcosθ, y=rsinθを利用して変数変換します。
(2)点と直線の距離の公式を使ってPHの長さを求めることができ、OP=PHならば、Cは焦点がO, 準線がC'の放物線になります。
一般に、e= OP/PHのことを「離心率」とよび、e=1のとき放物線、0<e<1の時楕円、e>1のとき双曲線になります。
＜筆者の解答＞
第2問
格子点間の移動を考える確率の問題です。
（カ)について
さらに東にl回動くとすると、残りのn-k-l回は北に動くことになるので車の座標が求まります。あとはlを消去してあげましょう。
（キ)(ク)について
時刻nでx+y=n上にいるとすると、直前の時刻n-1のときはx+y=n-1上にいることが分かります。よって、x+y=n-1から北に動いてx+y=nに行く確率、東に動いてx+y=nに行く確率をそれぞれ考えれば漸化式が立ちます。
（コ)について
(カ)の結果を使うと、k=1が分かるので、全体を通じて1回しか西に動きません。問題文の式を読み解けば、
・時刻tでx+y=tに到達
・その直後に西へ移動
・その後は西に進むことなくx+y=n-2まで進む
こんな経路をたどる確率を計算すればよいことが分かります（ここの考え方はノーヒントではさすがに厳しいと思います。穴埋め式を生かして、忖度してあげましょう）
(サ)について
クルマが一度もx<0に侵入しないのは、以下の2つを満たすときです。
・西に進むのがt=2,3,・・,n-3のうち1回だけ
・初めて西に進むよりも前に、少なくとも1回は東に移動している
よって、問題文にあるatを、at-(1/3)^tに変えて計算すればよいわけです。(1/3)^tは、時刻tまでに一度も東へ移動しない確率です。
＜筆者の解答＞
第3問
約数の個数を数える問題で、非常に易しい問題です。
(1)正直、(タ)自体知っておくべき知識で、(タ)から全て求まります。nが問題文の通りに素因数分解されるとき、nの約数はp1^m1×・・・×pr^mrと書けて、例えばm1の値は、0からk1までのk1+1通りあります。これが素数の個数r個分あるので、
d(n) = (k1 +1)×(k2 +1)×・・・×(kr +1) と書けるわけです。答案では、簡略化のためΣの掛け算バージョン、Πを使って書いています。
(2)nが平方数の時、k1,・・・,krが全部偶数になります。よって、d(n)は奇数だけの掛け算なので奇数になります。逆にd(n)が奇数なら、k1,・・・,krが全部偶数になるのでnは平方数になります。
＜筆者の解答＞
第4問
分数関数の増減と面積について考える問題です。
(1)f(x)を微分してg(x)を調べ、g'(x)を微分して増減を調べればよいでしょう。
(2) f(x)がx=αで極小になるとすると、少なくともk=g(α)が成り立ちます。これとf(α)=0を連立すればkとαが求まります。βはk=g(x)のx=α以外の解になります。
(3)y=f(x)とx軸との交点を調べて積分し、計算をごりごり進めます。ヒントはないですが、klogk→0 (k→0)を利用します。
＜筆者の解答＞
第5問
特殊な2変数関数の性質を調べる問題です。
(1)aiの正負を調べることで各Pがどのエリアにあるかを考えます。
(2) F(P)がどの値を取るかで場合分けして、F(Q)とF(R)の値を調べます。
(3) (2)の結果を使えば、結局S= F(a0, an)とメチャクチャシンプルな形になります。
＜筆者の解答＞
