「平成の～」で漏れていた2020年度の九大理系数学の後期入試の問題を解いていきます。
第1問
関数に関する不等式証明の問題です。
(1) f(x) = x-logx を微分して増減を調べる典型問題です。
(2) こちらも同様にg(x)=ax^n -logx の増減を考えればよいでしょう。a≦0とa>0とで場合分けして考えます。
(3) グラフを描き、PQの傾きとC2のp,qでの接線の傾きの大小を視覚的に捉えればOKです。
＜筆者の解答＞
第2問
周期関数に関する問題です。
(1) fn(x+k/2n)を愚直に計算してfn(x)と一致することを確かめましょう。この結果により、fn(x)が周期1/2nの周期関数だと分かります。
(2) fn(x)が周期関数なので、区間を[0, 1/2n]に絞って考えればOKです。
(3) 区間[0, 1/2n]での解をαnと1/2n- αnとすると、2つの和が1/2nになります。これが1/2nずつずれていくのでSnを求めることができます。
＜筆者の解答＞
第3問
ベクトルを使って四面体の体積を求める問題です。
(1) Q(0,q,0)としたときにPQの長さをqを使って表現して最小化すればよいでしょう。
(2)内積を計算して0になることをチェックして終了です。
(3) OA=BCのとき、a^2 + c^2 =3r^2/4となるので、a,cを１つのパラメータで表現できます。
これをしつつ、△OQCの面積と、Pと△OQCとの距離を調べてあげれば体積が求まります。
＜筆者の解答＞
第4問
極座標を使って関数の最大最小を求める問題です。
(1) Aは正方形ですね。
(2) x=rcosθ, y=rsinθを代入するだけです。
(3) (2)の変換を使うとθだけの関数に出来ます。AもBもx軸対称y軸対称なので、0≦θ≦π/2に絞って考えればよいです。
＜筆者の解答＞
第5問
確率の問題です。
(1)1回操作するとy=0かy=1になります。
(2)常に0≦y≦1になることを帰納法で証明すればよいです。
(3) y=1となるのは、最初に表が出続け、最後に裏が出るときだけです。
(4) yの推移を書いてあげると、y=2^(-k)となるのは、
最初のl回は表が出続けてl+1回目に裏、l+2回目はコインの出方によらずy=1/2となり、その後k-1回表が出続けるとき
だとわかります。
ここまでにl+k+1回の操作が必要になることに注意しましょう。
＜筆者の解答＞
