このシリーズでは、平成の北大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
20回目の今回は2000年になります。
第1問
円と直線の交点に関する問題です。
(1)図を描くと、直線PQとAとの距離が1以下になることが条件だと分かります。
(2)図を描いて、扇形と三角形の面積を考えてあげればよいです。
(3) Rの座標を文字でおいて、Rがx+y=a上にあることと角度の情報（＝内積の情報）から攻めていきます。
＜筆者の解答＞
第2問
2次関数と指数関数の混じった方程式の解に関する問題です。
(1) (2)fn(x)を平方完成したうえで、2次関数の部分と指数関数の部分に分けて、両者の交点を考えてあげると、視覚的に解くことができます。
n+1/n-2≦anの証明には、fn(n+1/n-2)の符号判定が必要です。
(3) pn, qnは直接nの式で求まり、n→∞で両者とも発散します。
このとき、fn(pn)とfn(qn)がn→∞で0になることに気付けるとよいと思います。
(4) (3)の結果を使えば、qn-pnの極限計算に帰着できます。
＜筆者の解答＞
第3問
積分で書かれた関数の最大最小を考える問題です。
xの範囲によって場合分けして絶対値を外して、積分を計算していきましょう。
すると、F(a)は周期2πの周期関数になるので、最大最小になるaは周期2πで無限個出てきます。
＜筆者の解答＞
第4問
空間内の点の軌跡を考える問題です。
おそらく、問題文の末尾にミスがあると思われます。
P(p, p^2, 0)としてQの座標をベクトルの知見を使って求めてあげて、pを消去することでQの軌跡が求まります。
ここで求まる軌跡が「楕円」になるので、1つの円に含まれるのはaによらず当たり前です。なので、「1つの円に含まれるようなaを求めよ」は問題文が成立していません。
おそらくは、「1つの円に含まれることを示せ」ないし「軌跡が円になるようなaの値を求めよ」が、正しい問題文だろうと思います。
＜筆者の解答＞
