このシリーズでは、日本医科大学の数学の問題を解いていきます。
3回目の今回は2020年です。
（問題文を提供して下さったせがわさん、ありがとうございます。）
第1問
積分の計算問題です。
ア～カ：積分区間の形から、偶関数・奇関数の性質を使っていくと見通しよく計算できます。
キ～シ：ク、ケについては2乗を2倍角で解消し、コ～シについては部分積分を使ってx^2を消していきます。
ス～ト：ここまでの結果を総動員して積分を計算していき、最終的にp,qの2次式になるので平方完成を使って最小化していきます。計算はかなり煩雑です。
＜筆者の解答＞
第2問
空間図形に関する問題です。
(1)αの式の各係数が、nのいることに注意すれば容易に解けます。
(2)内積を使えばOKです。
(3)体積ということで、一件積分を使ってゴリゴリ計算する問題なのかと思ってしまいますが、実は(2)までの結果を使って図にしてみると、「求める体積は半径3の球を3等分したうちの一つ」だと分かり、瞬殺で解けてしまいます。
あくまで積分は最後の手段と考え、最初は「図形的にうまいことが言えないか」という着眼点で図形問題は挑んでいくといいという好例ですね。
＜筆者の解答＞
第3問
点の軌跡に関する問題です。
(1)Tt(k)の式からtを消去してあげればよいでしょう。
(2) C(k)の中心をA(k)としたとき、考える法線は直線A(k)Tt(k)そのものとなります。
(3) (2)の結果を連立すればよいですね。
(4) (1)と同じようにP(t)の軌跡を調べていきます。焦点については、一度中心がOになるように平行移動してから考えると見通しが良いです。
＜筆者の解答＞
第4問
確率漸化式の問題です。
この問題は最後まで完答しきることは時間的に厳しい捨て問です。（事実、今回の答案も5枚消費する超大作となっています）
(1)(2)
各個数の状態の推移を考えていくわけですが、例え黒の個数が前後で変化していなくても「白⇒黒、黒⇒白」というムーブをしている場合があるので、確率の計算に細心の注意が必要です。本番では(2)までで精一杯ではないかと思います。
(3) (2)で求まった漸化式を使って、pn, qnをうまく消去していきます。するとα+βとαβがxの式で求まるので、解と係数の関係から2次方程式を解くことでαとβが求まります。
(4) (3)の形から漸化式を「等比数列」の形に直せるので、それを利用すると一般項が求まります。
(5) これまでの考察から、rn+1がpn,qn,rnの漸化式で表現できるので、それを「大雑把に」解くことを考えていきます。
「大雑把に」という意味は、rnが、3種類の公比を持った等比数列の和になっている、という事実を確かめるにとどめるという事です。そうすることで、rnがα,β, 1/3という3種類の公比を持つことが分かります。
この3つの公比の中で一番大きい奴を調べてあげれば、それで分母分子を割り算することでrn/qnの極限値を具体的に調べることができ、具体的には、一番大きい公比の係数だけが生き残ります。
あとは、この極限値をxの式で求めて、それが1未満になるxの範囲を調べて、お終いです。
いや～とにかく長く、計算も重いので、この(5)は完全に捨て問ですね。。。
＜筆者の解答＞
