このシリーズでは、日本医科大学の数学の問題を解いていきます。
4回目の今回は2019年です。
（問題文を提供して下さったせがわさん、ありがとうございます。）
第1問
双曲線と放物線の交点に関する問題です。
(1)(2)
C1, C2を連立して考えていきますが、今回はxを消去するとよいです。
このとき、C1の式から、一個のyに対してxは符合違いの2個求まることになるので、連立してできるyの2次方程式が「2つの実数解を持つ」とき、交点が4個あることになります。
判別式を考えていくと、最終的に4次不等式に帰着できるので、因数分解してグラフから解いていけばよいです。(1)のa=1のケースは、この2次方程式が重解を持つ場合の例になっています。
(3)C1, C2は両方ともy軸対称なので、円の中心はy軸上にあって、実質x>0にある2つの交点を通っていれば目的達成です。
解と係数の関係を駆使しつつ、中心と半径を計算していきましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
球に内接する四面体に関する問題です。
(1)lの最大値は、球の断面が一番大きくなる、半径1の円に正三角形が内接する場合に実現します。
(2)PH⊥ABとPH⊥ACが両方成立しているので、内積を使ってABとACの係数を求めます。
(3) (2)の結果に2s-t=l^2を代入すると、ABの係数がs,tと無関係な定数になります。ここから、Hは常にとある直線上にあることがわかります。
その直線が軸と平行になるように座標設定をして考えることで、Pが載っているべき断面の半径が求まり、PHの最大値が図形的に求まります。
底面の△ABCの面積は不変なので、結局高さのPHさえ最大であれば、体積も最大となります。
＜筆者の解答＞
第3問
変化の割合に関する、極限の計算問題です。
(1)各辺の差を微分して増減を調べる典型問題です。(3)の極限計算において「はさみうち」のためにこの不等式を使うんだろうと予想できます。
(2)与式をみたすcが少なくとも１つあることは、平均値の定理から自明です。（※f(x)が連続で微分可能な関数になっているので、平均値の定理が成り立っています）
ただ、実際にcを求めてみると候補が2つでてきてしまいます。最終的には「cがただ一つ」なことを示したいので、２つのうちどっちかだけがOKで、もう片方がNGなことを説明しないといけません。
f(x)の概形を調べると、0<x<1では下凸、x>1では上凸な単調増加のグラフになっています。このグラフを描いてみると、上記の2つの候補の内、a~a+hに収まっているのは1つだけで、もう一方はx>1になることが視覚的に分かります。
（※dはx=aとx=a+hの間の「変化の割合」であり、それと平行になるような接線の接点が必ずaとa+hの間にある、というのが平均値の定理の意味でした）
(3)h→0の極限を取ると、c→a, d→f'(a)となることが分かります。なので、θの極限はこのままでは0/0の不定形になって計算できないことになります。
とりあえずθをh,d,aの式に変形して分子を有理化してあげると、実質、(d-f'(a) )/hの極限を計算することに帰着します。
実際にdを元の式に戻して計算してあげると、log(1+〇)の形が出現するので、ここでようやく(1)の不等式を生かすことができそうです。
(1)を使って(d-f'(a) )/hを不等式評価してあげると、k=1のときにはさみうちに持ち込めることが分かります。
＜筆者の解答＞
第4問
法線に関する、軌跡の長さを計算する問題です。
(1)(2)
f''(x)≧0なのでCは下凸のグラフになります。それに注意して図を描いてあげることで、直線PQの方向ベクトル（≒傾き）から計算可能です。b<f(t)からPQは下向きのベクトルになることに注意です。
(3) a'(t)とb'(t)をそれぞれ計算して成立を確かめます。
(4) LPとLQを積分を使って式にしていくと、ΔLは積分の中身が綺麗にまとまることが分かります。
(5) X=e^tと置換することで、1/(X^2 +1)の積分に帰着できます。これはXをtanθに変換するとうまくいくタイプの積分で、tが-∞~∞の範囲なら、Xの範囲は0~∞、θの範囲は0~π/2とできるので、計算しきることが可能です。
このような、積分区間に極限が含まれる積分を「広義積分」と呼びます。
＜筆者の解答＞
