このシリーズでは、平成の東京工業大学の後期日程の数学の問題を解いていきます。
2012年度以降は後期日程が廃止されているので、初回の今回は2011年です。
第1問
四面体に内接する球に関する問題です。
(1) Pは３つの座標平面に接しているので(x-r)^2+(y-r)^2+(z-r)^2=r^2と式で書くことができます。この下で平面ABCの式を求めて球とこの平面が接する条件を考えてあげればよいでしょう。
四面体の体積と表面積から導出する方法でもOKです。
(2) 体積比はtの式で書くことができ、これをtで微分すればよいのですが、なかなか計算が大変な形をしています。
なので、答案ではあえてrを残したまま(r^3/tの形で）微分して因数分解できるものはどんどん括って計算を楽にしていきました。どの道rをtで微分した式の導出は避けられませんので。
＜筆者の解答＞
第2問
双曲線に関する面積の計算、極限の計算問題です。
(1)Cの式からθを消去すると、Cが双曲線y=√(1+x^2)と書けることが分かります。これを使えばS2の式は容易に求まり、S1は√(1+x^2)を0~tで積分することで求まります。
問題は、後者の積分計算です。原始関数はあまり一般的でないので置換積分を駆使して積分したいですね。ここでせっかく問題文にx=tanθという変数変換が与えられているので、θに変換して計算を進めていきます。それでも最後まで計算するのはかなり骨が折れる積分です。
(2) 実質log(t+√(1+t^2) )÷logt の極限を計算する問題です。直接計算するのは難しいので、分子を不等式評価してはさみうちに持ち込むことを考えるとよいでしょう。
分子の対数の中身は「tが大きい所ではほとんど１次関数」なので、分子を「logt +定数」の形で挟めればよさそうです。なので、そうなる定数を考えましょう。
※よくよく考えたら分子の中身をtで括ってしまえば不定形も解消でき、はさみうちなしでも直接極限計算できましたね・・・
＜筆者の解答＞
