このシリーズでは、平成の九大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
8回目の今回は2012年になります。
第1問
sinxの評価、および回転体の体積を求める問題です。
(1)左辺を微分してチェックします。
(2)こちらも左辺を何回か微分していきますが、(1)の結果を利用するとa≧1/6とするとうまくいくと分かります。
(3) (2)の不等式をそのまま利用すればいいですが、x<0の場合の検討も必要になってきます。とはいえ、その場合は(2)の結果でxを-xに置き換えてあげれば片が付きます。
(4) (1)の結果からy=sinxとy=xの位置関係が分かるので、定石通りに積分計算しましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
ベクトルの問題です。
(1)P(x,y,z)とおいて、与式に代入すればOKです。
(2) OH⊥CAかつOH⊥CBであればよいので、(1)のs,tを確定させましょう
(3) (1)の結果を使いつつ、AQ=1と内積の条件を使ってs,tを確定すればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第3問
確率の問題です。
一回２個のサイコロを振ると、
A: 移動が起こらない
B: x方向のみに+1
C:x方向とy方向の両方に+1
の３種類の現象が発生するので、それぞれの発生確率を計算するのが先決です。
(1)の場合はBが1回、(2)の場合はAとCが1回ずつ起きればよいわけです。
(3)A,B,Cがそれぞれ何回起これば(n,n-1)につくかを考えます。
＜筆者の解答＞
第4問
積分の極限を考える問題です。
(1) logを含んだ積分なので、部分積分を繰り返して解くパターンになります。
(2) f(x)=xlog(1/x)=-xlogxの増減を調べます。答案ではx→0でxlogx→0を自明のものとして使いました。
(3) (2)の不等式を使って、anの等比数列の部分を評価してしまいましょう。（答えにlogcがあるので、積分の中に1/xだけ残せばよさそうだと想像が付きます）
(4) an≧0は明らかなので、(3)を使ってはさみうちです。
＜筆者の解答＞
第5問
３項間漸化式を、行列を使って解く問題です。
(1)問題文の設定から、akの漸化式は簡単に作れるので、そこからa2k+1とa2k+2を作って行列の形にしましょう。
(2)いわゆる行列の対角化です。Bを地道に計算するだけです。
(3) (2)の結果を使うとA^nが求まるので、そこから漸化式が解けます。
(4) (3)の結果で極限を飛ばすのみです。
＜筆者の解答＞
