「平成の～」で漏れていた2021年度の九大理系数学の後期入試の問題を解いていきます。
第1問
ベクトルの問題です。
(1) ABベクトルとACベクトルを使って、AH, ARベクトルを表現することを目標に考えていきましょう。
途中ABとACの内積が必要になりますが、余弦定理から求めるとよいです。
(2) (1)の検討の段階で、AH:ARが求められるのでそれを利用します。
(3) これまで求まった辺の比を利用して、△ABCと△RHCの面積比を考えるとよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第2問
数列の漸化式に関する問題です。
(1) 問題文の漸化式はbnの漸化式に書き換えることができます。
(2) (1)の結果を使って、階差数列の形の漸化式を解きます。
(3) (2)の結果から3≦n≦3M-1のときan<0になることに注意すると、|an|が最大になるnを見つけてあげればよいです。この手の問題は前後の項の比を考えて1との大小関係を見るのが定石です。
＜筆者の解答＞
第3問
回転体の体積と、極限の計算問題です。
(1) セオリー通りに積分計算をしていきますが、式が大分複雑な形になります。
(2) V(a)を微分して増減を調べます。
(3) これは難問でしょう。
V(a)-V(a-1)を素直に計算して極限を取っても、∞×0の不定形が続出してヒント込みでも極限がうまく計算できません。
ここは、平均値の定理を使って、V'(c)のc→∞の極限の話に置き換えてあげます。
この置き換えを行った後でも、∞×0の不定形を解消する方法に難儀することになります。定数に収束する塊をさっさと作っていきましょう。
＜筆者の解答＞
第4問
確率漸化式の問題です。
(1) an, bn, cn, dnの漸化式を立てることが先決です。すると、anの漸化式だけはanだけで綺麗に表現できるので解くことができます。
(2) bn+1 - cn+1, cn+1 -dn+1 を計算すると、dn+1 - bn+1の情報も必要になることが分かります。この3つの漸化式を連立すれば、番号3個飛びの漸化式ができます。
(3) (2)の結果と(1)の結果を連立しましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
(1)ωという文字からしてネタバレ感満載ですが、それを知らない体でちゃんと証明する必要があります。
f(x)は3次式なので、数列ω^nの中で異なる値は3つ以下でないといけません。ωが0でも±1でもないという条件から、ω,ω^2, ω^3は全部異なる値となり、ω^4がωと一致してないといけないと分かります。ここからωの値の必要条件が求まるので、あとはその時にω^nが３つの値しかとらない十分性を確認しましょう。
(2) (1)の結果からω^2 +ω+1=0, ω^3 = 1が分かるので、これらを利用してf(x)を求めます。
(3) g(x) = (商)×f(x) + (2次式)と出来るので、x=1とx=ωを代入して2次式を確定させに行きます。ωが虚数なのでx=ωを代入するだけで実部と虚部の2つの情報が得られるので、x=1とx=ωの2つの条件だけで2次式は完全に確定でき、x=ω^2を代入する必要はありません。
＜筆者の解答＞
