このシリーズでは、平成の東北大文系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
基本的に文系ユニーク問題のみ解きますので、理系との共通問題については、理系の記事をご参照ください。
理系の記事はこちら↓
平成の東北大理系後期数学 -1991年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
28回目の今回は1991年になります。
第1問
行列に関する証明問題です。
(1) 左辺を計算して右辺と一致することを確かめます。
(2) (1)の結果を利用して、数学的帰納法で証明します。
＜筆者の解答＞
第2問
3つの平面の共有点に関する問題です。
(1) P(0)=(0,0,0)なので、αの式はz=mx+nyと書くことができます。
(2) aとcは対称な関係にあるので、Qがπ(0)とπ(a)の交線上にある条件と、Qがπ(0)とπ(c)の交線上にある条件を求めて、両者が一致するようにする、という方針で進めます。
一般にπ(r)上にQがあるとき、OQ=OP+s(1, 2r, 3r^2)+t(0,2,6r)の形で表現できます。(各rに対してs,tは別の値をとることに注意）これを利用して条件を詰めていきましょう。
(3) (1), (2)ができていれば瞬殺です。
＜筆者の解答＞
第3問
楕円の接線に関する問題です。
(1)接点(p,q)での接線の式がpx/a^2 + qy/b^2 =1と書けることを利用します。接点を(acosθ, bsinθ)とおいて、Aの面積をθの式で表しましょう。
(2) Aの回転体は円錐なので、体積計算は簡単です。
＜筆者の解答＞
第4問
同一平面、同一球面上にあるか否かを判定する問題です。
(1)~(3)に共通して、θ,tに特別な値を代入した数点を求めて、これらすべてを通る平面や球面の式を求めてしまいます。この平面や球が「同一平面」「同一球面」の候補になるわけです。
あとは、上記以外の点が、求まった平面や平面上にあるかどうかを確かめましょう。
平面・球面を求める際は、計算しやすくなるようにθ,tを選んであげます。例えば(1)(2)ではθ=0, π/4, π/2, π, (3)ではt=0、±1/2といった感じです。
＜筆者の解答＞
