このシリーズでは、平成の東北大文系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
基本的に文系ユニーク問題のみ解きますので、理系との共通問題については、理系の記事をご参照ください。
理系の記事はこちら↓
平成の東北大理系後期数学 -2005年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
14回目の今回は2005年になります。
第1問
放物線上の点との距離の最小値、および面積に関する問題です。
(1) 点(t, t^2)とAとの距離を計算すると、実質t^2の２次式を処理する問題になります。平方完成を行って最小値を検討しますが、aの値によって最小値をとるtの値に場合分けが発生します。
(2) (1)の結果から具体的にP,Qの座標が求まるので、図を描いて積分で面積を計算します。
＜筆者の解答＞
第2問
放物線の接線・法線に関する問題です。
(1)Cとlについて、x=0でyとy'の両方が一致すればlがx=0でCと接することになります。もちろん、式を連立してそれが重解を持つ条件として処理することも可能ですが。
(2)l'の式は容易に立つので、あとはCと連立して解くだけです。
＜筆者の解答＞
第3問
理系第３問とほぼ共通の問題で、理系の問題におけるnが具体的な数字n=6になっただけです。詳しくは理系の記事をご覧ください。
ちなみに答えだけお伝えすると、19/44となります。
第4問
線分の長さの比を計算する問題です。
(1) こちらはAM=sAB, AN=tACとおいて、ベクトルとして処理するのが良いと思います。AGベクトルを２通りで表現して係数比較します。
(2)こちらもベクトルで解くこと自体は可能だと思いますが、それよりも初等幾何のメネラウスの定理を使った方がはるかに手っ取り早く解けると思います。
＜筆者の解答＞
