このシリーズでは、平成の東北大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
14回目の今回は2005年になります。
第1問
点間距離の最小化と、面積の問題です。
(1) h(x)は4次関数のルートになるので、この4次関数を最小化してあげればよいわけです。中身を微分すると、|a|≦1/2の条件から符号変化する場所が1か所しかないことが分かります。
(2) 状況を絵にしてあげれば、面積計算は容易です。
＜筆者の解答＞
第2問
4次方程式の複素数解に関する問題です。
複素共役になっている解の組が2組あるので、それぞれについて、それを解に持つ2次方程式を作って、そうしてできる２つの2次方程式の積を作れば、与式になるはずです。
ということで、こうしてできる4次式と、与式が一致するように係数比較してあげましょう。係数比較でできる連立方程式を解くのが中々面倒ではありますが・・・
＜筆者の解答＞
第3問
確率の問題です。
B君は必ず偶数番目に玉を引くので、2k-1回目までは白ばかり引いて、2k回目で赤が出る確率を考えてあげます。
玉を戻さない設定なので、順番に白を引く確率を掛け算してあげればよいでしょう。
余談ですが、求まった確率は必ず1/2未満になるので、このゲームは先攻のAが有利なゲームと言えるでしょう。
＜筆者の解答＞
第4問
楕円に関する立体の体積を計算する問題です。
(1) PでのCの接線の傾きを調べる必要があるので、Cの式を両辺xで微分してみましょう。
(2)この問題一番の山です。Vがどんな立体かを正しく見極められるかがカギです。
まず底面は楕円の第1象限の部分です。(1)で調べた直線PQ(すなわちl)は、tが大きくなるにつれて左側(つまりy軸の方)に移動していくので、Vはy軸に近いほど高さが高くなることが分かります。
よって、z=sでVの断面を切ってあげると、楕円のうちP(s)Q(s)の左側は詰まっていて、右側には何もない、ということが分かります。
これが分かってしまえば、あとは積分計算で断面積を計算しましょう。
(3) (2)の断面積をsで積分するのみです。
＜筆者の解答＞
第5問
数列の無限級数を計算する問題です。
漸化式を繰り返し使ってあげると、約分が次々にできてanは最終的にきれいな分数式になります。無限級数については、部分分数分解で和を計算するタイプになります。
＜筆者の解答＞
第6問
s=t+2Δ (|Δ|<π)と差を具体的に文字でおいてあげると、上2つの方程式が成立する条件はsin(mΔ)=0とわかり、下2つの方程式が成立条件は同様にsin(nΔ)=0とわかります。
（上の事実は、和積の公式を使って因数分解することで得られます）
そうなると、mΔとnΔがともにπの整数倍ということになります。あとは、mとnが互いに素で、かつ|Δ|<πを使って、Δ=0を証明しましょう。
＜筆者の解答＞
