私立最難関の一角、慶應義塾大学の理工学部の問題を取り上げます。今回は2005年の問題です。
第1問
（筆者注：Qのz座標の文字はxではなくs）
曲線を使ってできる立体の体積を考える問題です。
(1) (ア)(イ)については、式の通りに微分して計算します。(ウ)については、
∫√(1+f'(x)^2) dxで計算することができます。(エ)は、(ウ)の結果を使うとPQをxの式で笑わせて解けます。
(2)S (x, 0, (e^s- e^-s)/2) と置くと、長方形PQRSの面積を計算してxで積分すれば体積が求まります。(ア)の結果を生かしましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
確率漸化式の問題です。
座標nにたどり着く方法は、n-1から1進んでつく方法と、n-2から2進んでつく方法の2通りがあるので、漸化式を立てることができます。あとは、この3項間漸化式を解くだけの問題です。
＜筆者の解答＞
第3問
円と直線の接する条件を考える問題です。
前半：(シ)まで
E,Iを通る円Cの中心は、EとIの垂直2等分線上にあるのでx座標はx=2で確定です。これにより円Cの方程式を立てることができるので、これと直線が接する条件を考えます。連立方程式が重解を持つ条件でも行けますし、中心と直線との距離が半径と等しいという条件を利用する方法でも行けます。
後半: （ソ)まで
円周角の定理を考えると、K自身が接点の時に∠EKIが最大になります。∠EKIの極限は、Cの中心をUとしたときに円周角の定理から∠EUI=2∠EKIとなって∠EUIは三角比を簡単に計算できるので、これを利用するとよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第4問
行列の問題です。
(1)定義通りに成分比較してみましょう。
(2)これも定義通りに行列の積を計算します。
(3)B^T *ABを計算すると、各成分が(αδ-βγ=1である限り）α,β,γ,δによらずAと等しくなるので、恒等式の問題になります。係数比較で解くのが厳しいので、α,β,γ,δに(αδ-βγ=1を満たす)特別な値を入れてa,b,c,dの候補を絞っていきます。0を絡めたα,β,γ,δの組をいくつか代入してみましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
点の軌跡を求める問題です。
(1)ベクトルの知識から、OQ= qOP + (1-q)OAの形で書けて、z座標が0になることからqが求まります。
(2) (1)の結果からtを消去すればよいのですが、a,bの取りうる値の範囲に要注意です。
＜筆者の解答＞
