文系数学の最難関、一橋大学の1999年の問題を取り上げます。
第1問
整数問題です。
(1)(2)ともに、 r=の形にすると、p,qが互いに素なので既約分数になります。よってrが整数となるためには、分母が1でないといけません。
＜筆者の解答＞
第2問
複素数の問題です。
(1)α', β'が、αとβの複素共役の逆数だと見抜けると、見通しが良いです。
(2) (1)の式を使えば、実質 |β|の範囲を求める問題となります。|α-β| = 1, |α| =2 は、βを固定すれば両方円を表すので、この2つの円が交点を持つ条件としてβの条件が求まります。
＜筆者の解答＞
第3問
三角形の垂心のベクトル表示を求める問題です。
(1)BDベクトルとACベクトルの内積=0から求めます。ABとACの内積は余弦定理から計算できます。
(2)HがBD上の点だという条件と、CH⊥ABという2つの条件を連立します。
＜筆者の解答＞
第4問
3次関数と直線の交点に関する問題です。
(1) 両者を連立した3次方程式が３つの実数解を持つ条件を考えます。a=の形にすると見通しが良いです。
(2)A, B, Cのx座標をα, β, γとして、解と係数の関係を使ってDA・DB・DCをaのみで表現していきましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
確率の問題です。
玉の総数は変化しないので、A,Bの中身としてありうるのは赤の個数違いの3状態しかありません。それぞれの確率を文字で置いて、漸化式を立てていきましょう。
＜筆者の解答＞
