このシリーズでは、平成の北大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
27回目の今回は1993年になります。
第1問
2次方程式の実数解の配置に関する問題です。
f(x)やg(x)を展開して平方完成する、という方法では無駄に式が汚くなるだけで泥沼に嵌ってしまい分が悪いです。せっかく因数分解の和の形でかけているので、これをうまく利用して証明したいです。
(1)試しに、f(p1), f(p2), f(p3)を計算してみると、容易くf(p1)>0, f(p2)<0, f(p3)>0が分かります。つまりp1→p2とp2→p3でf(x)の符号が変化しています。f(x)は連続な関数なので、区間の両端で符号変化していれば、その途中に必ずf(x)=0となる瞬間がなければおかしいですね。
2次関数の符号変化は2回だけなので、それぞれの区間のf(x)=0となる瞬間は1回しかないことになります（この点を答案に書き忘れてしまいました・・・）。
(2) (1)と考え方は一緒です。g(α), g(β)の符号を、(1)の結果を使って調べましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
1次変換に関する問題です。
(1) 問題文の条件を満たすように、(x,y)と(x',y')の間の関係式を求めます。PQがαに対して対象になる条件は、
1. PQがαの法線ベクトルと平行
2. PQの中点がα上にある
です。
(2)O,A,Bが同一直線状にあるということは、OAとOBが平行になるという事です。そうなるようにθを決めましょう。
※A=Bとなる答えが出てきますが、A≠Bという規定が問題文で特に言及されていないので、そのまま答えとしました。
＜筆者の解答＞
第3問
3次関数と直線の交わりを考察する問題です。
(1)l, C2の式を連立してできる方程式が3つの実数解を持つようなtの条件を考えます。左辺の3次関数の増減を調べましょう。
(2) (1)の考察から条件を満たすtはすぐに分かるので、それに応じてlとC2の交点の位置が分かれば、標準的な積分で面積が求まります。
＜筆者の解答＞
第4問
三角関数の最小値を求める問題です。
(1)OPとOQの内積が０になることを利用して、αとθの関係式を求めます。tanθの式を知りたいので、cosθ=0になることがない事を確認しておきましょう。
(2) (1)の結果を微分して最小となる瞬間を調べるのが常套手段でしょう。
ですが、「直線の傾き」という解釈をとれば、実は数Ⅲを使わずに最小値を調べることができます（別解）
＜筆者の解答＞
