このシリーズでは、平成の北大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
28回目の今回は1992年になります。
第1問
球の配置に関する問題です。
共通部分の半径が1/2になるような、２つの球の中心間距離を考えてあげるとよいでしょう。
ただ、共通部分の円に対して球の中心が反対側にあるか、同じ側にあるかが分かりにくいため試行錯誤が要ります。
＜筆者の解答＞
第2問
円錐の表面積を求める問題です。
底面半径rと高さhの関係式を調べた上で、表面積の式を1文字で表現します。おそらくrの関数で書くのが楽だと思います。
その後微分するのですが、増減を調べるのが意外に面倒です。
＜筆者の解答＞
第3問
確率の問題で(1), (2)は独立しています。
(1)Aが起こる確率P(A), Bが起こる確率P(B), AかつBが起こる確率P(A∧B)を全て計算したとき、AとBが独立の定義は、P(A)×P(B)=P(A∧B)となることです。
(2) 期待値の計算は容易なので、あとは常用対数で評価するのみです。
＜筆者の解答＞
第4問
e^eの評価に関する問題です。
申し訳ありません。この問題は最後まで解くことができませんでした。作戦は以下です。
nがe^eに一番近い整数だとすると、n-1/2<e^e<n+1/2が成立するので、log(n-1/2)<e<log(n+1/2)が成立します。このようなnを探すことに終始します。
探していくと、15<e^e<16までは分かるのですが、どうしてもeとlog(31/2)の大小を調べることが出来ず、結局求めるnが15か16かの判別までいかなかった、という次第です。
31が素数なので扱いにくく、31/2に近い2,3,5のみで作れる有理数を探すのも並大抵ではなく、捨てた方がいいと判断しました（そもそも15<e^e<16を探し当てるのも相当苦労しますし）。
ちなみに電卓を叩くと、e^e=15.1・・・となるので、正解は15のようです。
「e^eの整数部分を求めよ」でも十分難しい問題なのに、なぜ「最も近い整数」とさらに難度を上げる必要があるのか、疑問ですね。
＜筆者の解答＞
