文系数学の最難関、一橋大学の1998年の問題を取り上げます。
第1問
整数問題です。
(1) よく考えると、a-r(a)は8で割った余りが0になるので8の倍数となります。また、r(b)は7以下となるので、a-r(a)の値は相当絞られます。
(2) (1)と同じことをb-r(b)についても考えてみましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
漸化式を解いて、その桁数を求める問題です。
(1)は、代入すれば瞬殺でしょう。
(2) (1)で作った漸化式を解くだけです。
(3)桁数を求める典型問題化と思いきや、an= 2^n +3^nという指数関数の足し算を考えるので、一筋縄ではいきません。
とはいえ、nが大きくなっていくと、ほとんどanは3^nの影響で決まってしまいますので、3^nの桁数を考えてnの条件を考えましょう。
答案では、a19, a20を直接計算してしまっていますが、実際は3^20の先頭の数字を出してしまったほうが確実だったかもしれませんね。。。
＜筆者の解答＞
第3問
三角形の相似比を考える問題です。
(1)問題文の条件を使って、B2C2ベクトルを、t, ABベクトル、ACベクトルを使って表現してみましょう・
(2) 同様にしてA2B2ベクトル、C2A2ベクトルも表現できます。
＜筆者の解答＞
第4問
2次関数と、2つの接線で挟まれた領域の面積を考える問題です。
(1) Cの座標を求めると、Cのx座標はA,Bのx座標の平均になります（割と有名な性質です）。これを利用して面積を計算しましょう。
(2) 題意からaとbの関係式が求めるので、そこからb-aの最小値を考えましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
食堂で同席する確率を考える問題です。一橋大は行ったことがないのですが、食堂が４つもあるんですね。。東大の本郷キャンパスも食堂は４つありますが、一橋大のキャンパスはもっと狭そうなのに同じ数の食堂があるんですね。。
(1) 2人が「異なる食堂で食べている状態」と「同じ食堂で食べている状態」の2状態の変化の仕方を考えましょう。
(2) k日目で初めて同じ食堂で食べ、n日目で2回目となる確率を考えることになります。k=n-1のときだけ例外扱いの計算になります。
＜筆者の解答＞
