私大文系入試で最高難易度と呼び声の高い、早稲田大学商学部の数学の問題を解いていきます。
3回目の今回は2020年です。
第1問(1)
まずは、左辺と右辺の次数に注目してみましょう。左辺については、m-1+n次式を積分しているので次数が+1されてm+n次式になります。一方で右辺はmn次式になっています。左右の次数は当然一致するはずなので、m+n=mnが成り立ち、結果m=n=2が分かります。
あとは、f(x)=ax^2+bx+cとおいて、地道に両辺を計算して係数を合わせに行きます。
＜筆者の解答＞
第1問(2)
整数問題です。
まず条件(ii)から、a,dを3で割った余りが等しく、b,cを3で割った余りが等しいことが分かります。
条件(iii)から、b,cが3の倍数だったり3で割って1余る数だとNGだと分かるので、「b,cを3で割った余りは2」に限られ、さらに「aとdの偶奇は一致しない」という情報も分かります。
以上を満たす(a,b,c,d)のうち、最も数が小さくなる組を見つけてあげればOKです。
＜筆者の解答＞
第1問(3)
tanの絡んだ漸化式に関する問題です。
一見して漸化式が「tanの加法定理」の形をしていると分かるので、一般項はan=tannθだとすぐにわかります。
ここでa2020=0という情報から、2020θがπの整数倍だと分かるので、自然数mを使って、θ=mπ/2020と書くことができます。
気を付けないといけないのは、mを適当な数にしてしまうと、あるタイミングでanが発散してしまう場合があるという事です。そうなってはダメなわけです。
そんな不都合が起こってしまう条件は、「mk/2020=奇数/2となるような整数kが存在する」です。なので、こんなkが出現しないようなmの最小値を決めてあげる必要があるわけです。
mが小さい順に調べていきましょう。
＜筆者の解答＞
第1問(4)
四面体に関するなす角を求める問題です。
OAB⊥OACという条件から、OABとOACを異なる座標平面上においてしまえばよさそうです。計算が簡単になるように、O(0,0,0), A(1,0,0)としてしまい、ベクトルの内積を処理していけばよいです。
＜筆者の解答＞
第2問
２次関数を使った漸化式に関する問題です。
(1)これは流石に教科書レベルなので必ず正答すべきです。この(1)は(2)を考えるヒントになっていきます。
(2) (＊)の中身をよく見てみると、f(x)=xの形があります。これはxの２次方程式なので、実数解は２つ以下しかありません。なので、gn(α)の値は、実は２種類以下しかないことが分かります。
0種類は当然不適で、1種類しかないとすると、(1)の結果からα=0, 3/4しかありません。これは0<α<1/2をクリアできないので不適です。よって、gn(α)の値は「ちょうど２種類」だと分かります。g0(α)=αなので、この２種類の実数をαとβとして以後議論していきます。
さて、gn(α)がαとβの２種類の値しかとらないのだとすると、値の取り方は以下の２パターンしかありません。
1. nが偶数の時gn(α)=α, nが奇数の時gn(α)=β
2. n=0のときだけgn(α)=αとなり、n≧1ではずっとgn(α)=β
前者の場合は、g(α)=βかつg(β)=αが成立し、かつαとβはf(x)=xの解となっています。
後者の場合は、g(α)=βかつg(β)=βが成立し、かつαとβはf(x)=xの解となっています。
この２パターンについて、連立方程式を解いていきましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
平均値に関する要素数の問題です。問題文が大分抽象的かつ難解なので、間違いなく本セットの最難問と言えると思います。
(1)具体的な数列で実験する問題です。xnの時、計算するとm(k,t)=(k+t)/2と分かるので、(＊)を満たす条件は、1+t≧80だと分かります。
(2)以降は申し訳ありません。私自身も問題文をうまく咀嚼できず、解けておりません。。。後日解け次第更新します。
＜筆者の解答＞
