私大文系入試で最高難易度と呼び声の高い、早稲田大学商学部の数学の問題を解いていきます。
20回目の今回は2003年です。
第1問(1)
確率の問題です。
+1進むのが何回、-1進むのが何回起こるかを調べてあげればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第1問(2)
3次方程式の解に関する問題です。
x>0の領域でy=2x^3-5qx^2+1のグラフが少なくとも1回x軸を交わればいいので、微分して増減を調べるとよいです。
＜筆者の解答＞
第1問(3)
数列の和に関する問題です。
漸化式は逆数を取ることで等差数列の形にできて簡単に解くことができます。シグマについては、部分分数分解を使って、間を次々相殺していく形です。
＜筆者の解答＞
第1問(4)
図形問題です。
角の2等分線の性質から、BD:DC=1:2となるので、これを使って２つ余弦定理の式を立てて連立すれば解くことができます。
＜筆者の解答＞
第1問(5)
自然数の和についての問題です。
Mはnの式で簡単に書けるので、「1からan+bの和が25M+cになる」という式を処理して、nの恒等式に持ち込みます。
＜筆者の解答＞
第2問
2次方程式の解に関する問題です。
方程式が実数解をもつ場合と虚数解をもつ場合に大別され、さらに前者の場合はα, βの符号による場合分けが発生します。aによって場合分けして、考える関数の形を調べていきましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
自然数が２で何回割り切れるかを調べる問題です。
α(N)は、Nから奇数の成分を全て抽出したものなので、β(N)は自ずと2^mの形に書けることになります。
(1) β(N)=4のとき、N=4×奇数の形になるので、そうなるNの個数を調べます。
(2) logβ(N)は、「Nが2で割り切れる回数」と解釈することができます。
なので、1~2^nの整数をすべて素因数分解したときに含まれる「2」の個数がSとなります。
これは、2の倍数の個数+4の倍数の個数+・・・+2^nの倍数の個数で調べられます。
＜筆者の解答＞
