このシリーズでは、日本医科大学の数学の問題を解いていきます。
15回目の今回は2008年です。
（問題文を提供して下さったせがわさん、ありがとうございます。）
第1問
整数に絡めた極限の計算問題です。
bnが「3の倍数の個数」＋「7の倍数の個数」－「21の倍数の個数」で計算できることに注意すると、an, bn, Snはすべてガウス記号の式で書くことができます。
ガウス記号を不等式評価することで、はさみうちを使って極限計算ができます。
＜筆者の解答＞
第2問
3次関数の増減について考える問題です。
(1) f'(x)を計算して、2次方程式を解くだけのストレートな問題です。
(2)筆算で割り算を実行すればよいです。
(3)増減表は(1)の結果から書け、極大値の極小値は(2)の結果を使うと楽に計算できます。
＜筆者の解答＞
第3問
点の移動に関する軌跡の問題です。
(1) OR=r×OPとすることでRをPの座標で書くことでgの正体が分かります。
(2)P=Q, P=Rをそれぞれ成分ごとに連立して解けばOKです。
(3) (4)Pの座標が(1-2t, t)と書けるので、tを消去してQ,Rの軌跡を調べていきます。
＜筆者の解答＞
第4問
回転体の体積に関する問題です。
(1)いわゆる1/6公式という奴です。素直に展開して積分してもよいですが、x-aの形をできるだけ維持することで計算を楽にできます。
(2)OMがPQと垂直になることを利用します。
(3)台形を回転した部分と、円を回転した部分とで分けて計算していくと見通しが良いです。それでも、かなりの計算量です。( (1)を使うと多少は楽になります）
(4)αとβの範囲に注意すべきでしょう。常に半円上に2点あるためには、0<2β≦πでないといけなくて、さらにβをこの範囲で固定すると0≦α-β<α+β≦πでないといけないことが分かります。
この範囲に注意できればV1, V2を調べられ、sinβの4次関数に帰着できます。
＜筆者の解答＞
