私立最難関の一角、早稲田大学の理工学部の問題を取り上げます。今回は1997年です。
第1問
３次方程式の解に関する問題です。
(1) (＊)の左辺を微分してグラフを描けば視覚的に示せます。
(2)α-β>0, β-γ>0をそれぞれ因数分解を使って示していきます。
(3)実際に(＊)にx=βを代入してαの式で整理していきます。αが(＊)の解なので次数下げが使えます。x=γについても同様です。
＜筆者の解答＞
第2問
数列及び、極限の計算問題です。
(1)一見して簡単に解けそうにない漸化式なので、数学的帰納法の利用を考えます。
n=3あたりまで計算してみると規則性が見えてきます。
(2) ガウス記号を不等式評価して、はさみうちに持ち込む作戦でよいでしょう。極限計算にはネイピア数eの定義が登場します。
＜筆者の解答＞
第3問
場合の数の問題です。
末尾に1を追加するか、2,3を追加するかの場合分けで考えて漸化式を作り、それを解くだけの容易い問題です。
(1)の２つの漸化式を足し引きすることで単純な等比数列の形にできます。
＜筆者の解答＞
第4問
三角形の成立条件を考える問題です。
(1)a≧b≧cが３辺となる三角形が成立する条件はb+c>aです。これを繰り返し利用します。
(2)Tをk回変形した三角形をTkとします。（T0はTそのものとします）
このときに実際に実験してみると、Tk+3はちょうどTkを相似比1/2にしたものだと分かるので、T0, T1, T2の３つの三角形さえ成立していれば、題意が示せたことになります。
1>x>y>1/2ならばT0,T1,T2の３つ全てが作れることを(1)の結果も見つつ示していきましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
内サイクロイドに関する問題です。
(1)弧の長さの関係から中心角を考え、回転行列を駆使して座標を求めていく定番問題です。
(2)公式に当てはめて積分計算するのみです。
＜筆者の解答＞
