私立最難関の一角、慶應義塾大学の理工学部の問題を取り上げます。今回は2006年の問題です。
第1問
小問集合です。
(1)連続性・微分可能性についての問題です。関数の形が切り替わるx=±1でf(x)とf'(x)が同じ値を取るようにa~dを決めていきます。
(2)一見難しそうですが、1/xlogxが、log(logx)の微分だと気づければ簡単に解くことができます。
(3)積分を使った恒等式の問題です。セオリー通りpとqの係数が0になるようにα,βを決めていきます。
＜筆者の解答＞
第2問
大学入試では比較的珍しい、確率の絡まない純粋な数列の漸化式の問題です。
操作のルールを理解して漸化式を立てて解く、かなりストレートな問題と言えましょう。anの漸化式は基本的ですし、bnについてもcnというヒントがあるおかげで大分解きやすくなっています。慶応受験者であれば、ノーヒントでも解けても不思議ではない難易度ですが、大分親切ですね。ノーヒントだと類題経験がないと解くのが厳しいかもしれないです。
＜筆者の解答＞
第3問
立体の体積を考える問題です。
前半：(シ)まで
意外と難しい問題です。正弦定理で解く解法もありますし、答案に挙げたような、△OABの面積に注目して底辺をODとみなす、という解法もあります。
中盤: （セ)まで
立体の図と、図1をにらめっこしながら、各辺の長さを調べて解いていく必要があります。立体を頭の中でイメージできないと厳しいと思います。
後半：（タ)まで
問題文の通りにOCEHの体積を(ス)と同様に求め、足し算を行えばよいのですが、三角関数の計算が中々に面倒くさいです。。
＜筆者の解答＞
第4問
積分の計算問題と、曲線の概形を調べる問題です。(1)と(2)以降は独立していると言えます。
(1) √(1-t^2)が登場したら、t=sinΦと置換するとうまくいくことが多いです。
(2)C上の点(x,y)をθだけの式で書いて、x,yをθで微分します。u(θ)のθ→π/2の極限は、そのままだと0/0の不定形になってしまうので工夫が必要です（ロピタルの定理は最後の手段として。。。穴埋め式なのでごまかせますが（笑)）
(3) (2)でしらべたx,yのθによる増減を使って概形を描きます。
＜筆者の解答＞
第5問
連立方程式が整数解を持つ条件を考える問題です。
(1)文字だらけですが、やること自体は中学数学のレベルです。行列を使えるとかなり楽に解けます。
(2) |r-pq|=1だったら(1)の結果からxとyが整数になることは明らかですので十分条件であることはすぐに分かります。よって、メインは必要条件であることの証明になります。
もし|r-pq|≠1 だったら、|r-pq|は2以上になりますが、そのときに矛盾が発生することを示します。
βをうまく選ぶと、（2以上の整数）× (整数) = 1というおかしな状況を作ることができます。
(3)整数問題として頻出の「不定方程式」を解く問題です。因数分解を使って、（整数）×(整数)の形を作って解きます。
＜筆者の解答＞
