先日行われた、九州大学の2022年度の後期日程の数学を解いていきます。
第1問
三角形の面積に関する問題です。
(1)ある意味、この問題の中で一番の山場だと思います（これができてしまえば(2)以降は簡単です）。公式を適用しようにも、どの点を始点にするかで計算量が変わってきそうですし迷いどころです。試行錯誤した末、PQがかなりキレイな式になるので、あとはRとPQとの距離を調べて、（底辺×高さ÷2)の基本に帰る。これが一番楽に行きそうに感じました。結果、f(t)はかなりスッキリした式になります。
(2) sint/t→1 (t→0)を使えばよいでしょう。
(3) f(t)を微分すればOKです。
＜筆者の解答＞
第2問
直角三角形に内接する正三角形に関する問題です。
(1)座標を設定して解く、余弦定理を使って解くなど、色々方法はあると思います。座標設定は試してませんが、余弦定理だと２次方程式を解く工程が入って計算が煩雑になります。ここは、２乗などの面倒な作業の不要な正弦定理を使うのが一番スッキリした解法かと思います。
a=PQとおいて、BQとCQをa,θの式で表現してBQ+CQ=2に持ち込みます。
(2) (1)ができてしまえば、三角関数の合成で最大最小が議論できます。
＜筆者の解答＞
第3問
tanを含んだ数列の無限級数の収束性を調べる問題です。言うまでもなく(1) (2)がヒントになっています。
(1) 右辺に加法定理を適用すれば、左辺が得られます。
(2) こちらも2倍角の公式に当てはめればよいでしょう。
(3) メインディッシュの問題です。anのΣを考えるので、「an= bn - bn-1」の形にできたら嬉しいなぁ、と思いつつ(1)をどう使うかを考えます。
(1)でx=π/2^(n+4)としてあげると、anの漸化式が作れ、bn=1/(4^n*an)とすれば、見事目論見通り「an= bn - bn-1」の形がゲットできます。
こうしてΣを取ってあげれば、Σan = a1-b1+bnとなるので、結局「a1-b1の値を調べる」「bnの極限を調べる」の２つが課題になることが分かります。
a1-b1の計算には一見tan(π/16)の値が必要そうに見えますが、(1)の式を使うとtan(π/8)の値だけで求めることができ、tan(π/8)については(2)で調べています。
bnの極限については、tanx/x→1 (x→0)を使うタイプで計算可能です。
＜筆者の解答＞
第4問
いわゆる「ディオファントス近似」を題材にした整数問題です。
※ディオファントス近似：とある実数に最も近い有理数を調べる方法
(1)(2)ともに、分数の形になっているのが嫌らしいので、分子を払って登場人物が整数だけになるように変形するとよいでしょう。すると、不等式から範囲が絞れ、なおかつその整数がy×(整数)という因数分解された形になっているのでyの候補を絞ることができます。
＜筆者の解答＞
第5問
場合の数を調べる問題です。
(1)区別できない7つの荷物を（空き部屋を許して）7部屋に割り振る方法は、「7個のボールと7-1=6この仕切りを一列に並べる方法」と同じです。
(2) A-2に3個が入るので、残り4つの荷物を残り6部屋に割り振る方法を考えればOKです。
(3) Aの荷物数, Bの荷物数がいくつずつになるかで場合分けして調べて合計すればよいでしょう。
(4) こちらは余事象「Bに空き部屋がない荷物の割り振り方」を調べてあげればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
