先日行われた、北海道大学の2022年度の後期日程の数学を解いていきます。
第1問
整数問題です。
Sの式を、S=(a+b+c) (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)と因数分解することが全ての出発点になります。
(1)上の因数分解から、a+b+c=0ならS=0はすぐにわかります。
(2) さらにSの式を変形すると、S= (a+b+c) { (a+b+c)^2 -3(ab+bc+ca) }となるので、Sが3の倍数になる必要十分条件はa+b+cが３の倍数になることで、さらにこの時Sは９の倍数になることが分かります。
つまり、2022のような「3では割り切れるが9では割り切れない整数」はSになりえません。
(3) (2)での考察から、a+b+cは3を素因数に含んだ63の約数、つまり3,9,21,63のいずれかに限られます。なので、あとは場合分けして調査です。１文字消去して平方完成することで、a,b,cの候補を絞ることができます。
＜筆者の解答＞
第2問
領域の図示、包含関係の把握の問題です。
(1) ①と②を図示して、①の領域から②の領域をくり抜けばよいでしょう。
(2) 命題は結局、「①が②に含まれる」になるので、①の各頂点が②の中に収まる条件を考えればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第3問
直線に対する対称移動に関する問題です。
(1)lは線分BQの垂直２等分線となるので、「BQ⊥l」「BQの中点がl上にある」の２条件からlの式が求まります。
(2) (1)でQがy軸上にある状況は考慮できているので、あとはPがx軸上にくるように条件を決めていきます。P(p,0)とおいて(1)と同様に考えてa,b,pの関係式を求め、pを消去すればaがbの式で求まります。
「ちょうどlが３本ある」ということは、aを固定したときに対応するbが３つある、と同義です。なので、a=f(b)としたときにy=f(b)のグラフとy=aのグラフが３点交点を持つ条件を考えればOKです。
＜筆者の解答＞
第4問
複素数平面に関する問題です。
(1) lが∠ABOの２等分線ということは、BAベクトルの偏角がBPベクトルの偏角の２倍になっていることが分かります。これを利用することで、zの候補が２つ求まります。あとはzの虚部の情報から候補を一択にできます。
このときに、BAベクトルを表す複素数が(ai+1)^2と綺麗に因数分解できることがミソです。(2)でも多用するので、w=ai+1とおきます。
(2) lとOとの距離は、結局(1)で求めたzを使って|z|と書くことができます。|z|^2を計算してtで平方完成すると、wを固定したときにはt=(wの実部)÷(wの絶対値)= cos (wの偏角)の時に|z|^2は最小になると分かります。その状態でwを動かして|z|^2を最小化していきます。
すると、結局wの偏角の最小値が求まれば十分だと分かりますが、aの関係式からwの軌跡が求まるので、図形的にwの偏角が最小になる瞬間を考えることができます。
＜筆者の解答＞
