旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では京都大学の2004年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の京大理系数学 -2004年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
理系第1問との共通問題で、θの範囲のみ違っています。とはいえ、結果的に答えは理系のものと全く同じです。
詳しくは理系の記事をご覧ください。
第2問
抽象的な関数の積分値に関する問題です。
問題文に与えられている図自体が大ヒントです。定積分が「符号付きの」面積だったことに注意して、y≧0の部分の面積と、y≦0の部分の面積を、長方形の面積を使って評価してあげましょう。
<筆者の回答>
第3問
直線と円の交点のベクトル表示を求める問題です。
これは座標設定して、角の2等分線、円の式を立てて交点の座標を計算してしまうのが良いでしょう。この方法の場合はtan(∠AOB/2)を調べる必要があります。
座標設定せずに解くこともできるので別解としてあげましたが、やはり座標設定したほうが機械的に解けて楽な印象でした。
<筆者の回答>
第4問
α,β,c^2が三角形を作るためには、αとβが虚数でないといけません。そのもとで、重心を合わらす複素数は、(α+β+c^2)/3で表現することができますので、解と係数の関係を使って処理すればよいでしょう。
<筆者の回答>
第5問
整数問題です。
(1) 平方数を4で割った余りは0か1になる、という有名な性質を使うと証明できます。
(2) (1)でn≧2という断りがあったので、n=0の場合、n=1の場合、n≧2の場合に分類して考えるとよいでしょう。(1)の結果を使うとa,bが2の累乗の形で書けて、これを何回も繰り返すと、nの偶奇によってn=0, n=1のいずれかの場合に帰着させることができます。
<筆者の回答>
