旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では北海道大学の2016年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の北大理系数学 -2016年- - ちょぴん先生の数学部屋
第1問
3次関数の接線に関する問題です。
(1)これは教科書レベルで説明不要でしょう。
(2)Qにおける接線の式も同じように計算して、傾きが一致する条件を考えます。
(3) (2)の結果を使って、f( (s+t)/2 ) = [ f(s) + f(t) ]/2となっていることを確かめましょう。
<筆者の回答>
第2問
絶対値付きの関数を考える問題です。
(1) 絶対値を外すためにx=0,1,2で区切って場合分けしましょう。
(2) 素直な積分問題です。面積ではなくただの積分なので、符号に注意しましょう。
<筆者の回答>
第3問
図形問題です。
(1)正弦定理を使うとsinβが求まり、2倍角の公式でcos2βが求まります。
(2) cos2βの値から計算することができます。もっとも、(1)のsinβの値は知る人ぞ知る割と有名な値なので角度が予想できたかもしれません。
(3) 正弦定理を使うとOA=OB=OCの値が求まり、角度が全て求まるので円周角の定理から、OA~OCの内積も計算できます。それらを使ってs,tを求めますが、図形的な解の吟味が必要になります。
<筆者の回答>
第4問
整数問題です。
(1) 分子が1次式、分母が2次式なので、基本的には分母の方が大きくなり整数になりえません。よって、分子>分母となるxの値を絞り込むとよいでしょう。
(2)はxの式が整数かそうでないかで状況が分かれます。
xの式が整数の時は、全体が整数になるにはy=1になるしかありません。そしてそうなるxは(1)で調査済みです。
xの式が整数でないときは、(1)での考察からx≧3の場合になり、かつxの式が1未満になります。そしてy=1の時は全体が整数にならないのでy≧2に限られます。
この事実から、与式が0より大きく3/2以下になることが分かるので、そうなる整数は1しかありません。よって、与式=1 をy=の形にして(1)と同様にしてyが整数となるxを調べていきましょう。
<筆者の回答>
