このシリーズでは、奈良県立医科大学の前期の数学の問題を解いていきます。
13回目の今回は2010年です。
第1問
小数部分の極限を調べる問題です。
(1)与式をanとおいて、anの漸化式を立てていきます。すると、漸化式は整数係数でa1, a2が整数だと調べられるので、帰納法でanが整数だと言えます。
(2) -1<β<0なので、n乗すると|β^n|<1に必ずなります。(1)の結果から、α^n =(整数)-β^nとなり、β^nの符号がnの偶奇で変わるので場合分けが発生することになります。
＜筆者の解答＞
第2問
行列の絡んだ、多項式の係数を調べる問題です。
(1)ケーリーハミルトンの定理からJの累乗の形が調べられ、J^(偶数)のときだけ(1,1)成分が0でなくなることが分かります。
2項定理からA^nを計算していきましょう。nの偶奇による場合分けが発生することに注意で、この場合分けは最後まで引きずります。
(2) fn(x)がシグマの形で書けているので、Σの中身のうち、最高次数の物だけを拾って足し上げます。
すると、2項係数の引数偶数版のΣが登場しますが、(1-1)^n, (1+1)^nを2項定理で展開した式を考えてあげることで計算できます。
(3)こちらも(2)同様に、Σの中身の内、2次の物、n-2次の物だけをそれぞれ拾い上げて足していきます。
後者については、i×nC2iのΣが登場するのですが、これは「引数をずらして2項定理適用」でも計算できますし、(1+y)^n, (1-y)^nを考えて微分することによっても計算できます（こちらは経験がないと思いつきにくいか）。
＜筆者の解答＞
第3問
数列が存在する条件を調べる問題です。
条件(3)からxnは周期2を持ち、条件(2)を考慮するとxnは2種類の値α,βを交互にとることが分かります。
よって、条件(4)を立式した、β=(bα+c)/(α+a)とα=(bβ+c)/(β+a)の2つが同時に成り立つα,βが存在するようにa,b,cの条件を決めていけばOKです。（※条件(1)は、(4)の式で分母が0にならないことを保証しているに過ぎないので、あまり使いません）
2つの方程式を連立して片方の未知数だけにしていくのですが、一旦β-αの計算を行うと見通しが良くなります。
＜筆者の解答＞
第4問
（訂正：(3)はa→+0の極限を計算します）
部分分数分解を使って、積分値の極限（広義積分）を考える問題です。
(1)与式がxの恒等式になっていればいいのですが、分数の形だと考えにくいので、一旦両辺にx(1+x)^nをかけて分母を払ってしまうとよいでしょう。その状態でx=0とするとa0=1が、x=-1とするとan=-1が分かります。
さらに、x=(1+x)-1を利用してうまく変形してあげると、a1=a2=・・・・=anが求まりますが、その際にa1の情報が必要となります。与式の両辺をx倍してx→∞の極限を取るとa0+a1=0が分かるので、先の結果と合わせるとa1=-1となります。
他にも「等比数列の和を利用する」「数学的帰納法を使う」などが別解として考えられそうです。
(2)非積分関数にlogxが入っている場合、部分積分を考えるのが鉄板です。こうしてlogを解消すると、(1)の結果が使える形になります。(1)を使うことで積分計算が最後まで仕切れるため、その後a→0の極限を取った時に「明らかに収束する部分」と「収束するか怪しい部分」に分けて考えるとよいでしょう。「収束するか怪しい」部分は、ヒントを使って収束することを確かめます。
収束値はΣが残るとはいえ、nに具体的な値を入れれば計算できる格好になります。
(3) 分子でx=(1+x)-xを使うことで、(2)の積分の形の和にできるので、それぞれについてa→0の極限を計算していきましょう。
＜筆者の解答＞
