私立最難関の一角、早稲田大学の理工学部の問題を取り上げます。今回は2002年です。
第1問
双曲線と直線の交点に関する問題です。
双曲線の式と直線の式を連立してできる2次方程式が正の解を２つもつ条件を考えていきます。
端点、軸の位置、判別式の3つの要素を加味して決めていきましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
指数関数から生成される多項式に関する問題です。
(1)数学的帰納法で示します。Pn(x) =Σck x^k と置いて考えましょう。
(2) (1)の中でan, bn, cnの関係式が出来上がっているので、連立して漸化式を解きましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
行列の計算問題です。
(1) X^2 と(s+t)Xの両方をAとEで表すことを考えます。
(2) (1)を使えばY^2 - (s+t)Y を簡単にできるので、成分比較します。
(3) Y^nの両辺にYをかけて、pn, qnの漸化式を作って解きます。
＜筆者の解答＞
第4問
対数の極限に関する問題です。
(1)対数の底にxが入っているのが気持ち悪いので、変換公式で底を定数にしてしまうと様でしょう。aとbの大小関係によって場合分けが発生します。
(2) (1)と同様にして、aとb/2の大小関係によってLを求めることができます。あとは、aとb/2の大小関係とa^2 + b^2 ≦1 を合わせて、Ｌの取りうる値を考えます。
＜筆者の解答＞
第5問
絶対値付きの積分で書かれた関数に関する問題です。
(1) 絶対値の中身の正負がどうなっているのかをxの値によって調べましょう。あとは、絶対値を外してひたすら積分計算です。
(2) I(θ)をθで微分して増減を調べます。
＜筆者の解答＞
