私立最難関の一角、早稲田大学の理工学部の問題を取り上げます。最終回の今回は2001年です。
第1問
複素数平面に関する問題です。
(1) z^7 = 1となることがわかるので、因数分解しましょう。
(2) (1)を利用すると、α+βとαβがきれいに計算できるので、2次方程式を使ってα,βを求めることができます。
(3) P0, Q, Rを複素平面上に描けば容易に面積が求まります。
＜筆者の解答＞
第2問
関数の取りうる値を調べる問題です。(1)のヒントがないと(2)は厳しいですね。
(1) mをa,b,p,qの式で書いて、kの式で無理やりmを作ってあげます。
(2) 結局mの取りうる値が分かればよいので、それに集中します。mの取りうる値を考える上では、x^2 + y^2 =1、(x-4)^2 + y^2 = 1という2つの円の共通接線を考えるのが有効になります。よって、共通接線の式を求めましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
関数の増減と、積分の極限を考える問題です。
(1) f'(x)を計算して正負を調べます。
(2) 実質積分の計算がメインです。三角関数は2乗のままだと積分しにくいので、倍角の公式で1乗に直して計算します。
＜筆者の解答＞
第4問
確率、得点の期待値を考える問題です。
(1)少なくとも2連勝ということは、3戦全勝か、2連勝するが3連勝はしないかの2通りあります。それぞれについて確率を計算しましょう。
(2) 得点表を作って確率と期待値を計算しましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
関数の接線に関する問題です。
(1) 接線の式を立てればtがsの関数として書けます。よってtをsで微分して増減を調べればよいことになります。
(2)Cの概形を描けば、sの上限は、線分PQがCの接線になっているときだと分かります。
＜筆者の解答＞
