旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では北海道大学の1996年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の北大理系数学 -1996年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
3次方程式の解と、面積に関する問題です。
(1) f(x)=(x-α)^2 ×(x-β) と因数分解できることを利用して係数比較をしましょう。
(2) 面積を成分で計算して方程式を解くだけです。積分計算は、代入したときに0が出るように工夫しながら計算しましょう。
<筆者の回答>
第2問
線形計画法の問題です。
(1)連立して解くだけの簡単な問題です。
(2) 領域を図に描いて、直線k=mx+yとこの領域が交点を持つkの最大値を考えます。mの値によって直線の傾きが変わり、領域との接触の仕方が変わるので場合分けが発生します。
<筆者の回答>
第3問
行列の計算と、格子点の個数を調べる問題です。(2)が捨て問レベルの難問です。
(1) 条件(イ)からaが整数になることが分かります。条件(ロ)を検討するために、(X,Y)が格子点(m,n)に移るとしてX,Yをm,nの式で表します。このとき、どんなm,nについてもX,Yが整数になるので、Aの行列式が±1にならないといけません。
(2)格子点の個数を調べるのですが、はっきりいって捨て問です。
格子点の個数は、直線x=k上にある格子点の個数をkの式で表現してΣを取る、というのが定番の方法ですが、今回の場合は、領域の範囲が、(分数)<x<(分数）のような形となり、格子点の個数がうまく数えられません。
よって、この方法は泣く泣く諦め、図形的に、（大きい部分にある格子点数）－（平行四辺形以外の部分の格子点数）という方針で数えることにします。
格子点を数える際に注意しないといけないのが、境界線上にある格子点の取り扱いです。今数えているのが境界を含むのか含まないのか、境界を含む場合のダブルカウントの有無をかなり繊細に検討しないと正しく計算できず、ここが非常に難しいです。
<筆者の回答>
第4問
特殊な漸化式の問題です。
漸化式の引数がm,nと混在していると考えにくいので、どっちかの文字に適当な数字を突っ込んでみます。今回の場合は、m=1を代入すれば見慣れた漸化式になります（n=1としても同じ漸化式になります）
その下で漸化式を解きますが、出てきたanはあくまで、m=1の場合の必要条件に過ぎません。ちゃんと元の式に代入しても成立しているという十分性のチェックを忘れずに行いましょう。
(1) この場合は、経験値が必要ですが、番号がうまく連続するようにn(n+1)で割ってみるとうまくいきます。
(2) (1)の場合と異なり、余計なnの式が残ってしまうのでうまく解消したいです。余計なnの式が1次式なので、bn = an - (pn+q)と置きなおして1次式が消えるようにp,qを決めてあげるとよいです。すると、(1)と同様の漸化式に帰着できます。
<筆者の回答>
