旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では京都大学の1996年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の京大理系数学 -1996年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
理系第1問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第2問
数列の差について考察する問題です。
(1)漸化式を見た瞬間に相加相乗平均だと分かるので、anとbnの大小はすぐに分かります。あとは、an同士、bn同士の大小を考えましょう。
(2)発想力が必要です。
bn+1 -an+1 を漸化式を使って計算するのですが、不等式が証明できるように無理やり8anが分母になるように進めてみましょう。その後分子と(bn-an)^2の大小を比較してみましょう。
(3) 漸化式を使うと、a2, b2までは両方整数なので差もすぐに計算できますが、a3,b3以降は√が混じってきて差が分かりにくくなります。√15 < 4の関係を使うと、b3-a3>4が分かるので、(2)を使ってb4-a4を評価してみましょう。
<筆者の回答>
第3問
行列の計算問題です。
Aを成分表示して、ケーリーハミルトンの定理を使って、方程式をA,Eだけの式で書いて考えます。AがEの定数倍かそうでないかで状況が分かれるので、場合分けして調べましょう。
<筆者の回答>
第4問
積分を含んだ関数に関する問題です。
当然のごとく、絶対値を外すためにxの値による場合分けが発生します。こうしてg(x)を計算した後は、aの値によって場合分けして増減を調べていきます。全体的に計算がハードです。
<筆者の回答>
第5問
期待値の問題ですが、実質三角形の個数を数える場合の数の問題です。
i,j,kに等しいものがあると0点になって期待値に寄与しないので、全部異なる場合だけ考えます。
1点になる時は鈍角三角形、2点になる時は直角三角形、3点になる時は鋭角三角形となりますので、要領よく数えていきましょう。まずはi,j,kの組み合わせを調べて、それの並び替えによって場合の数が6倍になります。
実際数えてみると分かりますが、どのケースも意外と手で数えられるレベルしか個数がありません。
<筆者の回答>
