旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
最終回の今回は東北大学の1989年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の東北大理系数学 -1989年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
放物線上の直角三角形の面積を考える問題です。
(1) P,Qのy座標をp,qとおいて、直角という条件からp,qの満たす式を求め、Rの座標をp,qで表して軌跡を求めましょう。
(2) P,Qの座標を求めれば面積をp,qの式で書けるので、片方を消去しましょう。相加相乗平均で最小値が求まります。
<筆者の回答>
第2問
球面と平面の交線を考える問題です。
(1) 球面の中心Aと平面の距離を求めてあげればCの半径が求まり、平面の法線ベクトルを利用するとCの中心Bの座標が求まります。
(2) 底面をCとする母線の長さが√32の円錐の頂点が求める点になります。
<筆者の回答>
第3問
3項間漸化式についての問題です。
(1) bn = an+1 -an と塊にできることに気付けるかが全てと言ってよいです。階差数列の漸化式を2回解くことになります。
(2) anがnの3次式なので微分して増減を考えましたが、この文章を書いているときに気付きましたが、bnの符号を調べたほうが遥かに早かったです。bnの符号が初めて正となるのがn=9なので、a1>a2>a3>・・>a8>a9<a10<・・となり最小値はn=9のときですね。
<筆者の回答>
第4問
直線と放物線に関する面積、回転体の体積の問題です。
(1) Aの面積をS, 左側の面積をS1, 右側の面積をS2とします （明記はされていませんが、S1:S2=1:2と解釈して解いています）。
先にSを求めれば、S1の値が先に分かります。よって、図を描いてS1をaの式で書いて方程式を解きましょう。
(2) これは部分点止まりでしょうがないと思います。
明記はされていませんが、aの値は(1)で求まった値だとして解きました。
図を描いて、回転体の体積を典型通りに計算するだけなのですが、分数の値を手計算で求めるのが非常に大変です。よほど計算力に自信がある人以外は最後までやり切る必要はないと思います。
<筆者の回答>
