旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では九州大学の1997年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の九大理系数学 -1997年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
円と直線にまつわる軌跡と三角形の面積を考える問題です。
(1) 円と直線の式を連立して座標を計算しましょう。方べきの定理を使って図形的に計算する別解もあります。
(2) P(2+2cosθ, 2+2sinθ)とパラメータ表示できるので、重心Gの座標をθの式で表現してθを消去すればGの軌跡が求まります。O,A,Pが一直線上にないので、Gが直線OA上にある場合だけ除外する必要があります。
(3) Pと直線OAとの距離d(θ)が最大になるようにθを決めてあげればよいでしょう。
<筆者の回答>
第2問
2次方程式の基本性質を確認する問題です。
(1)平均変化率とは、中学数学で習ういわゆる「変化の割合」のことです。
(2) 微分係数は、「変化の割合で、分母を0に近づけたときの極限」です。
(3) (1)(2)ができていれば瞬殺です。
(4) P,Qにおける接線の式を求めて、両者の交点Rのx座標を計算すれば、積分で面積計算できます。
<筆者の回答>
第3問(a)
理系第3問(a)との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第3問(b)
理系第3問(b)との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第3問(c)
理系第3問(c)との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第4問(a)
三角形の面積比を考える問題です。
(1) OG=aOA+bOBと書けるとき、Gが△OABの内部にある条件は、0<a+b<1, a>0, b>0です。
(2) 底辺の比を使って面積比を求められます。
(3) GがPQ上にある時、OG=gOP+(1-g)OQと書けます。
(4) (3)の結果を使って、qをpの式で表現してS'/Sをpだけの式で表現しましょう。pの値の範囲を調べる必要があることに注意しましょう。S'/Sはpの分数式になるので、相加相乗平均が使えるように変形しましょう。
<筆者の回答>
第4問(b)
理系第4問(b)との共通問題です（違いは、角度の単位が度かラジアンかだけ）。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第4問(c)
確率の問題です。
(1) p1は白を2つ取り出す状況を、q1は赤白を１つずつ取り出す状況を考えればOKです。
(2)(3)袋の中身の状態の推移を図に描いて、漸化式を求めましょう。係数がごついからか、一般項までは要求されていません。
<筆者の回答>
