旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
最終回の今回は北海道大学の1989年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の北大理系数学 -1989年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
2次方程式の解に関する問題です。
(1) 2次方程式を直接解いて差を計算すればよいでしょう。√の中身の平方完成で片が付きます。
(2) 解を直接解いて解いても良いですが、2次関数の判別式、軸の位置、端点の符号で調べるという典型的な方法の方が楽だと思います。
<筆者の回答>
第2問
直方体の頂点の正射影に関する問題です。問題文のように平面に垂線を下したとき、その垂線の足を「正射影」といいます。
(1) GC, GF, GHベクトルを使って、GA, GB, GDベクトルを表して内積を計算すればよいでしょう。
(2) z成分を削ぎ落すだけなので、(1)で求めたベクトルの関係式は正射影しても変わりません。これを使うとA'B'C'D'は平行四辺形になっていることが分かります。あとはA'B'=A'D'が言えれば、A'B'C'D'が菱形だと示せます。
ここで(1)の結果から、BとD, FとHのz座標が等しいと分かります。これとGC, GF, GHの大きさと内積の関係を使うと、A'B'=A'D'も無事示すことができます。
<筆者の回答>
第3問
対数の入った不等式を解く問題です。
(1)xと1の大小関係によって対数の値の符号が変わるので、まずはこれで場合分けしましょう。x=1の時は分母=0でNGです。
対数の体が3,5と混じっているので、どちらか一方に揃えます。変換するときに余分に出てくる対数の値が正になるように3に揃えたほうがミスしにくいと思います。
(2) ②を処理するとxの2次不等式ができるので、これを解いて考えます。(1)の結果が全て②の結果に含まれるようにaを調整しましょう。
<筆者の回答>
第4問
4次関数に関する問題です。(1)(2)は特に誘導というわけでもなく独立しています。
(1) Pのx座標をpとおいて、Q, Rの座標を調べることに終始します。
(2) まずf(x)が「最大値を持つ」ので、a<0でないといけません。この下でf(x)が最大になる座標を求めて、それがy=x上にある条件を求めればよいです。
<筆者の回答>
