2023年も大学入試のシーズンがやってきました。 今回は、大阪大学文系数学に挑戦します。
なお、原則文系ユニークの問題のみ解いていきます。理系の記事は↓
2023年度 阪大理系数学 解いてみました。 - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
<概略> （カッコ内は解くのにかかった時間)
1: 方程式が実数解を持つ条件の図示(20分)
2: 対数を含んだ関数の最大値(15分)
3: ベクトルの処理(20分) ※理系第2問と共通
計55分
<体感難易度>
2≦3<1
理系のセット同様、文系も手の付けやすい易しめのセットです。ただ、場合分けなどの手間が若干目立つのでそこは丁寧にやりましょう。
<個別解説>
第1問
方程式が実数解を持つ条件の図示の問題です。
三角関数のままだと考えにくいので、2倍角をsinの式に直してt=sinθとおき、tの2次方程式に直してしまうと見慣れた問題に化けます。
tの範囲は-1≦t≦1なので、上記のtの2次方程式がこの範囲の実数解を持つ(a,b)の条件を調べればよいことになります。例のごとく、判別式、軸の位置、端点の符号に注目して場合分けしていきます。
＜筆者の回答＞
第2問
対数を含んだ関数の最大値を考える問題です。
(1)これは、言われなくてもこう変数変換すべきですね。対数の底を変換してからtに変えていきましょう。結果、yはtの3次関数になります。
(2) xが1/2≦x≦8なら、-1≦t≦3と言い換えられます。yをtで微分して増減を調べるのですが、極値がこの範囲にあるかないかで場合分けが発生することに注意です。さらに、最大値は複数候補が出るので、大小関係もちゃんと調べる必要があります。
＜筆者の回答＞
第3問
理系第2問と共通の問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
