2023年も大学入試のシーズンがやってきました。 今回は、東京大学文系数学に挑戦します。
なお、原則文系ユニークの問題のみ解いていきます。理系の記事は↓
2023年度 東大理系数学 解いてみました。 - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
<概略> （カッコ内は解くのにかかった時間)
1: 2次方程式の実数解を使った関数の最小値(15分)
2: 絶対値付き積分(20分)
3: 確率(15分)※理系第２問との共通問題
4: 四面体の体積(30分)
計80分
<体感難易度>
1<2≦3≦4
今年の東大文系はかなり解きやすいセットでした（去年が難し過ぎたのもありますが）。特に第１問は完答できないと合格はおぼつかないでしょうね。他の問題も完答しきるのは簡単ではないですが、前半の小問で十分に部分点を稼げると思います。
<個別解説>
第1問
2次方程式の実数解を使った関数の最小値を調べる問題です。
最初にα,βが実数だと問題で書いてくれてますが、kが正の時点でこの事実は明らかですね。
考える関数はαとβに関する対称式になっているため、α+βとαβを解と係数の関係で作るんだな、と容易に想像できるはずです。
これを使ってまずは関数をkの式に直していきましょう。すると分数関数が登場するので、相加相乗平均が使える形に直していくとよいです。
＜筆者の回答＞
第2問
絶対値付きの積分に関する問題です。
(1)f(t)を計算すると絶対値が付いた式が求まります。それを積分するわけですが、当然ながら積分区間によって絶対値の外れ方が変わってくるわけです。今回の場合は、aと0との大小関係で場合分けが発生します。
(2) g(a)-f(a)は3次関数なので、微分して増減を調べましょう。極小値の計算については、次数下げを利用すると計算が楽になります。
＜筆者の回答＞
第3問
理系第２問と共通の問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第4問
四面体の体積を求める問題です。
(1)問題文の条件を全て図示すると、△ACBと△ADBが合同な二等辺三角形だと分かります（cosの値が等しいということは、0°~180°の範囲では角度自体が等しいことになります）。
これを利用すると、余弦定理からCD以外の長さが求まるので、あとは三角比を使って面積を計算しましょう。
(2)体積を知りたいので、△ABCを底面としたときの高さhが分かればいいわけです。
そもそも、この四面体は「半径1の球面に内接する」だったので、これを使ってhを求めていくことが目標になります。ただ、その工程がとにかく長いです・・・
ABの中点M, CDの中点Nをとって二等辺三角形の条件、球面の中心OについてOA=OB=OC=OD=1になることを使って、と逐一様々な長さを調べていく必要があります。
＜筆者の回答＞
