旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では京都大学の1991年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の京大理系数学 -1991年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
理系第1問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第2問
円と双曲線との交点の個数を調べる問題です。
(1) これは、CとHを直接図に描いた方が分かりやすいでしょう。円の上端がH+の底よりも上にあり、円の下端がH-の頂点より下にあれば条件をクリアできます。
(2) CとH+を連立したyの方程式を考えます。yの方程式で考える理由は、xの方が消去しやすいからです。CとHがy軸対称で、基本的には1個のyに対してxが正負2個対応するので、yの方程式がbより大きい実数解を2つ持てば、交点が4つ存在します。そんな(a,b)が存在するか否かを、領域図示で調べましょう。
<筆者の回答>
第3問
理系第3問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第4問
3次方程式の解がすべて実数になる条件を調べる問題です。
3次方程式が実数解しか持たない条件は、
・3次関数が極値をもつ
・極大値と極大値の積が0以下
の２つです。上記を使って、1個目の方程式が実数解しか持たない条件を求めて、そのときに2個目の方程式が同じ条件を満たすかどうかを調べましょう。
<筆者の回答>
第5問
理系第5問の類題で、赤玉の個数が3個から2個に変わっているだけです。
解き方は理系と全く同じですので、詳しくは理系の記事をご覧ください。
<筆者の回答>
