旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では大阪大学の2010年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の阪大理系数学 -2010年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
放物線の通過領域に関する問題です。
(1) 逆像法で考えます。つまり、放物線の式をtの2次方程式と解釈して、これが実数解を持つx,yの条件を求めましょう。
(2) (1)の結果からD,aが分かるので、そこからlの式、Dとlの交点を計算して、面積を積分計算で求めましょう。
<筆者の回答>
第2問
指数関数、対数関数の連立方程式に関する問題です。
(1)は、実質的に１つ目の方程式の自然数解を求める問題です。y≧4がNGだとすぐに分かるので、y=1,2,3で検討しましょう。そこで求まった解が2番目の式を満たすことを最後に確認します。
(2)は一見して何をしてよいかが分かりませんね。発想力の必要な難問です。
思うことは、「対数があるせいで式が汚い」ということ。よって、対数を丸ごと文字で置いてしまいましょう。
X=logx, Y=logyとおいてしまえばX=Y+1となるので、1つ目の方程式をYだけの方程式にすることができます。
すると、方程式の左辺はYの単調増加な関数になっていることが分かります（証明は不要だと思います）ので、この方程式を満たすYはあっても1個しかないことが分かります。
そして、具体的な解は(1)で調べているので、「実数解」まで範囲を広げても(1)の解しかないことが分かります。
<筆者の回答>
第3問
領域と、それに絡めた確率の問題です。
(1) 絶対値が入っているのが面倒ですが、おかげでxを-xに取り換えても、yを-yに取り換えても式の形が変わらないことが分かります。つまり、この領域はx軸対称であり、かつy軸対称です。よって、x>0, y>0の場合だけ考えて、それをx軸対称、y軸対称に折り返してあげれば答えになります。
(2) 問題文の条件をみたすとき、第1象限では(x,y)=(1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2)の5つしかありません。x座標とy座標は独立に決まるので、目の差が1になる確率、2になる確率、3になる確率を個別に調べて計算しましょう。
<筆者の回答>
