旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では九州大学の2010年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の九大理系数学 -2010年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
理系第1問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第2問
理系第2問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第3問
半円に絡んだ長さを計算する問題です。誘導が丁寧なのでうまく乗っていきましょう。
(1) 図を描けば∠BOM=2θ、∠BON=4θとなることが分かりますので、この時点でθの範囲は0<θ≦π/4とわかります。
MBの長さは余弦定理で良いでしょう。2倍角の公式を使うことでキレイに√が外せます。
(2) Nの座標が分かれば図形的に計算できます。
(3)問題文の通りにt=sinθとおいて整理していきます、4倍角があるので2倍角の公式を2回使います。
(4) (3)の結果がtの3次方程式となるので、この方程式が0<t≦1/√2で１つだけ解を持つことを証明しましょう（0<θ≦π/4では、tとθが1対1対応しているので、tの個数が即θの個数になります）。微分で増減を調べましょう。
<筆者の回答>
第4問
m乗Σの公式を自力で作りなさいという問題で、いわゆる「公式証明」問題です。
(1)は、足す順番を逆順にして上下を足すと求まる有名な解法です。かの天才数学者ガウスが小学生の頃に、学校の先生から出された「1+2+・・+100=？」という問題を、この解法を即座に浮かべて瞬殺で解いてしまった逸話で有名ですね。
(2)以降は、求め方を知っておくとよいでしょう、
2乗のΣの場合は(k+1)^3-k^3のΣを計算、3乗のΣの場合は(k+1)^4-k^4のΣを計算という方法になります。
<筆者の回答>
