旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では大阪大学の1991年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の阪大理系数学 -1991年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
理系第2問の類題です。
(1) l上の点(t,1)をfで移した点がl上にある条件を処理します。
(2)ケーリーハミルトンの定理で一発です。
(3) l'上の点(s,ks)をfで移した点が、l'上にあることを確かめます。
<筆者の回答>
第2問
空間上の球面の外接・内接を調べる問題です。
外接する場合は、半径の和＝中心間距離、内接する場合は、半径の差＝中心間距離となりますので、条件をそれぞれ式に起こしてp,qの関係式を処理しましょう。
<筆者の回答>
第3問
3次方程式と絡めた整数問題です。
まずは3次方程式が実数解を1つしか持たない条件を処理します。その条件は、
・3次関数が単調増加
または
・極値の符号が同じ
なので、前者の条件からm=0が、後者からm=1,2が求まります。
m=0のときに整数解があるのは自明なので、あとはm=1,2の場合に整数解があるかどうかをチェックします。m=1の場合は幸い因数分解が簡単にできますが、m=2の場合は因数分解がすぐにはできません。
ここは、m=2の場合は整数解がないことを示したほうが早そうです。整数解nが存在すると仮定すると、式の形からnは6の倍数だと分かります。このことからn=6n'とおいて代入すると矛盾が発生します。
<筆者の回答>
第4問
2曲線で囲まれる面積を求める問題です。
とにもかくにも、両者の交点を出すのが第一です。交点が求まったら曲線のグラフを描いてみると、上下関係も分かります。
ここから、両者をy=の式に直して積分するのもよいですが文系範囲を逸脱してしまいます（しかも計算ミスしやすい）。ここは、長方形ー（両脇の部分の面積）で求めればミスがしにくく、かつ積分も文系範囲で実行可能になるのでオススメです。
<筆者の回答>
