このシリーズでは、東大に引き続き、平成の京大理系数学の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
京大の数学の問題も、難易度は高いですが良問の宝庫であり、演習価値が非常に高いです。
（時々、どうしようもなく難易度が高く、筆者の力量でも解けない問題が出てくることがありますが、どうかご容赦くださいm(_ _)m )
24回目の今回は、1996年の問題です。
第1問
ベクトルの関係式に関する問題です。A(1,0), X(cosθ、sinθ)と置いてしまうと見通しが良いです。
(1)関係式を計算すると、OYベクトル＝(-cos2θ, -sin2θ)となります。
(2) (1)の結果からθを求めるだけです。
(3) (1)の結果から自明だと思います。
＜筆者の解答＞
第2問
四面体の平面による断面を考察する問題です。
Z軸方向から状況を眺めてみると、断面は、点Aと、αとPBの交点Qと、αとPCの交点Rからできる△AQRだと分かります。
αの式を求めて、QとRの座標を計算しましょう。
すると、AQが底辺、Rのy座標が高さとなるので、面積S(t)はtの式で容易に求まります。あとは、S(t)を微分して増減を調べればよいです。
＜筆者の解答＞
第3問
一次変換の性質を調べる問題です。
まずは、一次変換fを表す行列をAとしたときに、A^3がどう書けるかが分からないといけません。ケーリーハミルトンの定理を使うと、A^3が、AとIの線形和で書けることが分かります。
ここでいくつか場合分けが生じますので、個別に調べます。
・AがIの定数倍で書けるとき、
・Avが、vの定数倍で書けるとき、
・Avが、vと一次独立のとき
最初の2つのケースは、調べるとAv = vとなってしまうので、問題の条件に反します。
最後のケースを考えると、A^3 = I となります。
＜筆者の解答＞
第4問
とある整数に自然数kを足して３で割った数の整数部分 について考える問題です。
(1)は、とりあえず実験してみてね。という問題です。漸化式に従って計算すると、あるところから値が変化しなくなることがわかります。
(2)は、前半は帰納法による証明です。後半は、an+1とanの差を計算します。
後半の方は、ガウス記号を外すと、an+1 - an > -1/3となって一瞬あれ？ってなりますが、anは全て整数なので、これは0以上と考えて問題ありません。
(3)ある値で打ち止めになることはまぁ明らかでしょう。次に、M = [ (M+k)/3] を満たすMを求めることになりますが、ガウス記号を外して整理すると、Mは(k-3)/2より大きくk/2以下になることが分かり、(2)の結果と合わせると、Ｍは(k-3)/2より大きく(k-1)/2以下になります。kの偶奇によって答えが変わることに注意です。
＜筆者の解答＞
第5問
正三角形の頂点をランダムに選んで、その頂点とPnとの中点を次々作っていく状況で
OPnの長さの2乗の期待値を求める問題です。(3)が難問です。
(1) A(1,0), B(-1/2, √3/2), C(-1/2, -√3/2) と座標軸を取ると見通しがよいです。AP0, BP0, CP0をそれぞれ計算して、2乗して足し算÷3 で求まります。
(2)OPnベクトルを、OPn-1ベクトルとOXnベクトルで表現して、次々に番号を下げていくことで求めることができます。
(3)これは難問です。
X1,・・・,Xnの決め方(3^n通り）によって、OPnの値は変わります。この3^n通りについてOPnを全て足して3^nで割ったものが考える期待値Enになります。この考え方が難しいと思います。
このとき、En+1とEnの間の漸化式を計算することになります。
＜筆者の解答＞
第6問
微分方程式の問題です。
問題文の条件から、dx/dt = - (100+x)/100×e^(kv)となりますので、この微分方程式を解いて、x(t)をtの式で表現します。このときにガソリンの初期量をx0とでも置きましょう。
ここで、100kmを一定速度で走らせるとT=100/v時間かかります。よって、最終的なガソリンの残量はx(T)で表せます。
x(T)を最大にしたいので、これをvの関数とみなして増減を調べます。
x0の条件は、x(T)>0から求めます。
＜筆者の解答＞
