東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、東北大学の1991年の問題を取り上げます。
第1問
双曲線と2本の接線で囲まれた面積を求める問題です。
与式のままだと接線が計算しにくいので、y=の形に直してから微分するとよいでしょう。
このあとは、接線の式を求めて図に描けば、面積を計算できます。
＜筆者の解答＞
第2問
1次変換の問題です。
まず条件(ⅰ)から、f(s+t)=2f(s)f(t)（※gも同じ）が求まりますので、これを満たすf(t)を求めることが目標になります。この時点で、f(t)は指数関数になりそうだと予想できます。
次に条件(ⅱ)の処理ですが、これは経験が要ると思います。円は(cosθ、sinθ)とパラメータ表示できますが、同じように、双曲線は( (e^θ+e^-θ)/2, (e^θ-e^-θ)/2 )とパラメータ表示できます。
これらを使うとf(t), g(t)を確定できます。（少し厳密性には欠けますが。。。）
＜筆者の解答＞
第3問
3次関数と単位円との交点が正方形となる条件を考える問題です。
(1) (p,q)を原点の周りに90°ずつ回転させればOKです。
(2) 3次関数が、(1)で求まった4点を通る条件を求めます。ここで、正方形の辺と対角線が軸と平行となる状況がNGとなることに注意です。
正方形の向きについて指定が特にないので、3次関数の式がバチっと一つには決まらず、正方形の向きによる自由度が残ってしまいます。
＜筆者の解答＞
第4問
確率の問題です。
(1)3でj回まで割り切れる整数の個数を調べましょう。j=nの場合のみ例外扱いとなります。
(2) (1)の結果で和を取ればよいです。
(3)考える条件付確率は、(2)の結果を「Aが起こる確率」で割り算したものになります。
＜筆者の解答＞
第5問
回転体の体積を求める問題です。
(1) 微分して増減を調べる典型問題です。
(2)これも微分して増減を調べます。ここで気になるのがx=0での挙動がどうなるかですが、(1)を使ってはさみうちの定理を適用すると求まります。
(3) 積分を計算するだけですが、(logx)^2の積分が要求されるので計算が面倒です。部分積分を使いましょう。
＜筆者の解答＞
第6問
1次変換についての問題です。
(1)fを表す行列を求めて、OPnベクトルの一般項を求めましょう。
(2) (1)で求まったOPnの式を使って計算しましょう。答えが汚くなるので、問題文の数値が設定ミスの可能性が。。
＜筆者の解答＞
