このシリーズでは、東大に引き続き、平成の京大理系数学の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
京大の数学の問題も、難易度は高いですが良問の宝庫であり、演習価値が非常に高いです。
（時々、どうしようもなく難易度が高く、筆者の力量でも解けない問題が出てくることがありますが、どうかご容赦くださいm(_ _)m )
23回目の今回は、1997年の問題です。
第1問
点の軌跡を求める問題です。
(1)は、P(cosθ、sinθ)とおいて条件式を丁寧に処理していきましょう。最終的にθを消去します。
(2) (1)の答えから、Qは原点中心の半径2の円周上にあることが分かりますので、この円周のどの範囲を動くかを考えます。Qのx座標の動く範囲を調べるのが手っ取り早いと思います。
＜筆者の解答＞
第2問
2項係数の最大公約数について考える問題です。
まず、k=1のとき、pqC1 = pqとなるので、求める最大公約数の候補はpqの約数、つまり1,p,q,pqに絞られます。この後、p,q,pqがダメなことを証明していきます。
いきなりだとよく分からないので、p,qが小さい時に実験してみましょう。
p=2, q=3とすると、6C2 =15, 6C3 =20 となり、6C2は2で割り切れず、6C3は3で割り切れません。
同様にp=3, q=5とすると、15C3 =455, 15C5 = 3003となり、15C3は3で割り切れず、15C5は5で割り切れません。
この実験から、pqCpはpで割り切れず、pqCqはqで割り切れないことが予想されます。
pとqは対称なので、片方が言えれば十分です。
ここで、pqCp = pq×(pq-1)×・・×(p(q-1)+1) ÷ p! となりますが、
分子は、p(q-1)+1からpqまでの掛け算であり、この中にpの倍数はpqしかありません。
よって、分子に含まれる素因数pの個数は1個だけです。
一方で分母に含まれる素因数pの個数も1個だけです。
よって、素因数pは約分で消えてしまうのでpqCpはpで割り切れません。
以上から、最大公約数の候補としてp,q,pqがNGなことが分かるので、1しかありえないことが分かります。
＜筆者の解答＞
第3問
２つの放物線で挟まれた領域の面積を2等分する接線の条件を求める問題です。
接線が、領域を横断する条件に注意しながら、2放物線で囲まれた面積と、放物線と接線で囲まれた部分の面積をそれぞれ求めましょう。後者は、1/6公式と解と係数の関係を利用すると計算量を減らせます。
(1)さえできれば、(2)はオマケのような問題です。
＜筆者の解答＞
第4問
不等式評価の問題です。
(1)は、左辺の積分を計算してもうまくいきません。積分を計算するとcosの式になりますが、sinも出てこないし、係数のα,βも出てきません。
それよりかは、積分を面積と解釈して、sinxの面積と台形の面積の大小比較と考えれば図形的に証明することができます。
(2)は、若干発想の要るところですが、(1)の不等式を利用して、β-α=π/8と固定して、αを0からπ/8おきに大きくした不等式を4つ作って最後に全部足すと、積分区間が連結されて0からπとなって、うまくいきます。
＜筆者の解答＞
第5問
カードの合計点を競うゲームで、どっちの作戦が有利かを考える問題です。
合計が7か9になってしまうと0点となってしまうことから、2通りの作戦が出てくるわけです。意地でも0点をとりたくない慎重なA君と、0点になるリスクをしょってでも高得点を狙いに行くハイリスクハイリターンなB君の2人です。
(1)A, Bそれぞれのカードの引き方、得点、確率をまとめた表を作りましょう。
この表から、期待値が計算できるので、不等式を解いてEa>Ebとなるpの範囲を求めます。
(2) (1)で作った表を引き続き使って、Pa, Pbをそれぞれ求めて大小比較します。（大小比較ができればいいので、展開しきるor因数分解しきる必要はないです）
すると、Pa>Pbとなる範囲が、(1)の範囲よりも狭くなっていることが分かります。よって、Ea>Ebだからといって、Pa>Pbになるとは限らないことが分かります。
どっちの作戦が有利かを調べるのに、期待値か確率で判断することが多いですが、両者の大小関係があべこべになってしまう場合があるわけですね。こんなケースがあると、判断に困りますね。。。
＜筆者の解答＞
第6問
cosxの接線が作る直角三角形の面積を調べる問題です。
(1)は、接線の式を求めて、そのx切片とy切片が分かれば計算できます。
(2)は、(1)の式を微分して調べると、結局tsint - costの正負でS(t)の増減が決まることが分かります。tsint - cost=0の解が、π/4と1の間にただ一つあることを示しましょう。
(3)は、t0sint0 = cost0 になるのでこれを使って計算しましょう。t0cost0の値の評価は、g(x) = xcosxの増減と、π/4 < t0 <1 を使うことで示せます。
＜筆者の解答＞
