このシリーズでは、東大に引き続き、平成の京大理系数学の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
京大の数学の問題も、難易度は高いですが良問の宝庫であり、演習価値が非常に高いです。
（時々、どうしようもなく難易度が高く、筆者の力量でも解けない問題が出てくることがありますが、どうかご容赦くださいm(_ _)m )
22回目の今回は、1998年の問題です。
第1問
直角三角形に内接する円の半径rを条件の範囲で動かしたときの、直角三角形の面積の最大値を求める問題です。
(1)まずは、順番に与えられている条件を書き出していきましょう。斜辺をc, 斜辺以外の辺の長さをa,bとすると、
・a+b+c+2r =2 (今回の制限）
・c^2 = a^2 + b^2 （ピタゴラスの定理）
・ab = (a+b+c)r （内接円半径の関係式）
という３つの式が立ちます。３番目の式は、
三角形の面積 ＝ 三角形の外周 × 内接円の半径 ÷2
という、内接円の性質を使っています。
この３つの式を使って、a,bを消してcとrの関係式を作りましょう。
(2)直角三角形の面積Sは、S=ab/2= r(1-r)となるので、この２次関数を最大にすることを考えます。ここで、rの取りうる値の範囲に要注意です。
各辺の長さがプラスになることから、0<r<1/2はすぐに分かるかと思いますが、これだけでは足りません。（最大値がうまく決まらないはずです）
見落としやすいのが、「aとbが実数になる条件」です。a+bとabが両方実数になってもaとbが実数になるとは限らないのでした。（例、a=i, b=-i)
ここまできちんと考えてあげれば、最大値が求まります。
＜筆者の解答＞
第2問
2次式がどこかの値で必ず2^nで割り切れることを証明する問題です。(2)のヒントとして、(1)が与えられています。
(1) f(a)=N×2^n (N:自然数）と書けているとします。このとき、f(a)は偶数なので、式の形からaは奇数でないといけません。
このとき、f(a+2^n-1)を計算すると、f(a+2^n-1) = (N+a+2^n-2) ×2^n と書けます。
Nの偶奇によって話が変わるので場合分けをするわけですが、結果として、f(a)とf(a+2^n-1) のどっちかは必ず、（偶数）×2^n の形になるので、2^n+1で割り切れることになります。
(2)は、(1)をヒントに数学的帰納法で証明します。
まず、a=1 とすればf(1)=8となるので、n=1,2,3についてはan=1という例が存在してOKです。
次に、f(ak)=2^k×N と書けると仮定すると、(1)から、
Nが偶数の時はak+1 = ak, Nが偶数の時はak+1 = ak +2^k-1としてあげれば、f(ak+1)は2^k+1で割り切れることが分かります。
以上から、任意のnについて、f(an)が2^nで割り切れるようなanを見つけてくることができました。
＜筆者の解答＞
第3問
四面体の辺上の点からできる平行四辺形の性質を証明する問題です。
空間図形を扱うので、ベクトルを使えばよいです。
P, Q, R, Sをそれぞれベクトルで表現して平行四辺形になる条件を調べる、平行四辺形の対角線交点をTとして、Tをベクトルで表現する、という流れで証明していきます。
Tは線分PRの中点(線分QSの中点でもある）であることを使いましょう。
＜筆者の解答＞
第4問
放物線とx軸で囲まれたエリアの格子点を数える問題です。
面積の方は簡単に出せるので、格子点を数えることこそがこの問題のメインテーマとなります。
格子点の数え方として定番の方法は、直線x=k ないしy=k (k：整数）上の格子点を数えて最後に足し上げる方法です。
x=kで数える方法と、y=kで数える方法と２通りありますが、後者は最後のはさみうちがうまくいきませんでしたので、x=kで数えます。
放物線とx=kとの交点のy座標をykとすると、x=k上にある格子点の数lkは、
yk < lk <yk + 1 という関係式を満たします。
これをすべてのkについて足せばLmの不等式が求まり、Smで割ってはさみうちの定理を適用すれば、Lm/Smの極限値が求まります。
＜筆者の解答＞
第5問
３個の玉を取り出したときに、色と数字がダブらない玉の個数の期待値を考える問題です。(1)がメインで、(2)は(1)ができていれば容易く解けます。
(1)はnが大きいほどレアケースになるので、n=3から数えるとよいでしょう。
n=3のとき、色と数字のダブりが一切ないので、全部列挙すればよいです。
n=2のときは、よく考えると起こりえないことが分かります。
n=1のときは、色が３色とも出て数字にダブりが出る場合と、色が２色しかでなくて数字はダブらない場合の大きく２パターンがあるので場合分けして数えます。
n=0は、全ての引き方(9C3 = 84通り）から、n=1,2,3の場合を引き算すればよいです。
(2)は、Σn*A(n)/84を計算するだけです。
＜筆者の解答＞
第6問
対数関数をｘ軸の周りに回転してできる立体の体積を考える問題です。
(1)は典型問題ですが、(logx)^2の積分が必要になるので、慣れていない人には厳しいかと思います。答えはかなり汚いです。
(2)は、(1)を微分して増減を調べるだけ、なのですが、如何せん式が複雑なので、微分して増減を調べるのが案外大変です。Vを最大にするaはこれで分かりますが、その後最大値を実際に計算するのも、かなりの計算力が要求されます。ミスのないように慎重に行いましょう。
＜筆者の解答＞
