このシリーズでは、京都府立医科大学の数学の問題を解いていきます。
15回目の今回は2008年です。
（手書きでの問題文を提供して下さったせがわさん、ありがとうございます！）
第1問
面積に関する問題です。
(1)Ltの式を作って積分し、tで微分するという定型作業を行うのみです。
(2)Bの式を計算してしまえば、ヒントも相まって極限計算は難しくありません。logが入っているので、部分積分で計算するのですが、今回の場合はlogの中身が2x+1なので、(2x+1)'を無理やり作るとよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第2問
四面体の体積と内接球の表面積を考える問題です。
(1)△ABCと△ADCは３辺の長さが等しく合同になります。なので、円に内接する四角形の性質を使うと∠ABC=∠ADC=90°が分かり、円周角の定理からACが直径だと分かります。
(2)Aを原点とする座標を取って各辺の長さと高さを計算する、という方法を答案ではとっていますが、(1)で直角になる頂点が分かっているので、それを利用したほうが楽だったかもしれませんね。(2)の終盤でこのことに気が付いて、(3)で利用しています。
(3)四面体の内接球の半径は、四面体の体積と表面積から求めることができ、そこから球の表面積が求まります。
＜筆者の解答＞
第3問
順列の個数を数える問題で、このセットの中では難問の部類です。
(1)Vをみたすa1,a2,・・・,anのグラフを書くと、V字のような増減となります。底を打った時の値は1~nの最小値なので「1」となります。なので、a1~ak-1は、2~nのn-1個からk-1個の数字を選んで大きい順に並べればでき、残ったn-k個を小さい順に並べてak+1~anとしてあげれば順列ができます。
なので、結局最初の「2~nのn-1個からk-1個の数字を選ぶ」場合の数の合計がV(n)となります。
(2)Nを満たすa1~anのグラフはN字型となります。N'(n+1)については、anまで組んだ状態でan+1=n+1を追加すればよいので、結局a1~anの並び方がどうなっているかを考察します。
a1~anの並び方は、
1.この時点でN字型になっている
2. 逆V字になっていて、an+1を追加することで初めてN字型になる
の２通りあることが分かります。
(3)ai=nとなっていることに注意すると、
・2~n-1のn-2個の数字からi-2個を選んで小さい順にa2~ai-1を作る
・残りのn-i個をV字型に並べる
で目的の順列が出来上がります。
(4) N(n)=N'(n)+N''(n)をつかうと、(2), (3)の結果からN(n)の漸化式ができるので、それを解いていきます。
＜筆者の解答＞
第4問
円についての極限計算の問題です。
AとBが外接する、CとA,CとBがそれぞれ内接する条件からp~sの関係式が３つ求まるので、それを利用していきます。
(1)pとrだけの関係式が１個あるので、それを利用して極限計算していきます。
(2)qをpの式で計算することができますが、複雑なうえに２種類出て来ます。ここでBがAの右側にあることに注意すると、２種類の内大きい方を採用すればよいことになります。
sを計算したいので√3-qを計算しておくとよく、p→√3とするとp<q<√3なのでq→√3になることを利用してs/rの極限計算していきます。
＜筆者の解答＞
