2021年も大学入試のシーズンがやってきました。
今回は、北海道大学の理系数学に挑戦します。
<概略> （カッコ内は解くのにかかった時間)
1. 三角形に関するベクトル（20分)
2. 接線の交点、線分の長さの比(10分)
3. 対数関数の最大値(20分)
4. 数列に関する倍数（25分)
5. パラメータ表示された曲線に関する面積(15分)
<体感難易度>
2<3<5<1<4
非常に平易な問題の並んだセットです。一応難易度順を付けましたが、どれもあまり難易度差を感じなかったです。
<個別解説>
第1問
三角形に関するベクトルの問題です。
(1) OF=faとおいて、OA⊥BFを利用すればOKです。
(2) DEの中点をMとすれば、相似の関係からDM=2/3BFが言えるので、これを使ってOEを計算していきます。
(3) DEベクトルとDBベクトルに注目して三角形の面積の公式を適用します。少し計算を工夫しないと面倒になります。
＜筆者の回答＞
第2問
接線の交点、線分の長さの比を求める問題です。
(1) l1, l2の式を計算して連立するだけの問題です。
(2) これもAB, BCを計算するのみです。比の式は約分で幾分スッキリした式になり増減を調べることができます。微分でも調べられますが、a>0を利用して相加相乗平均を使うともっと楽です。
＜筆者の回答＞
第3問
対数関数の最大値を求める問題です。
(1) 3^(4x) = X, 3^(y^2) = Y と変換してYについて解けばよいでしょう。
(2)与式の対数の底がイヤらしい形をしているので、変換してあげるのが第１歩です。この問題では1より大きければ底を何にしても良いですが、考えやすいように2かeにしてあげるとよいと思います。
式変形していくと、実質logの中身のみの増減を考えればよくなり、(1)の結果からxだけの式にできます。このときxの範囲をチェックことを忘れないようにしましょう。
＜筆者の回答＞
第4問
数列に関する倍数の問題です。
(1) 漸化式の通りにただ計算するだけです。
(2)an, bnの片方が必ず偶数になることを、帰納法で証明します。
(3) nが偶数の時だけなので、2個飛びの漸化式を新しく作ってあげて、cn+2とcnの漸化式を計算してあげれば解けたも同然です。
＜筆者の回答＞
第5問
パラメータ表示された曲線に関する面積を計算する問題です。
(1) xをθで微分して増減を調べればOKです。
(2) Cの概形を描くことができるので、置換積分を使って面積を計算します。
＜筆者の回答＞
